外測度

在數學中，特別是測度論中，外測度是一個定義在給定集合上的擴展實數值的函數，並滿足幾條附加條件。一般的外測度理論由C. Carathéodory引進，目的是給可測集和可數可加測度的理論建立基礎。C. Carathéodory關於外測度上所做的工作應用於測度理論中的集合論上（例如外測度用於證明Carathéodory擴張定理）。豪斯多夫也用此來定義一個類似維數的度量，現在稱為豪斯多夫維數。

從長度，面積及體積歸納出來的測度概念，對於很多抽象不規則的集合是很有用的。我們希望定義一個廣義的測度函數$\varphi$,使其滿足以下4個條件：

1. 任意實數區間 $[a,b]$有測度$b-a$；
2. 測度函數 $\varphi$是非負擴展實數值函數，定義在$\mathbb {R}$的所有子集合上；
3. 平移不變性：任給集合$A$和實數$x$，$A$與$A+x$ 有相同的測度(這裡，$A+x=\{a+x:a\in A\}$）；
4. 可數可加律：對$X$的任意的兩兩無交的子集序列$\{A_{j}\}$，有：

$\varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i})$。

事實上，這幾條要求是不相容的。這樣的測度函數 $\varphi$不能定義在$\mathbb {R}$的所有子集上，也就是說，不可測集是存在的。構造外測度的目的就是選出那些可測集合，使得可數可加性得到滿足。

定義

外測度是從 $X$ 的冪集合映到 $[0,\infty ]$的函數

$\varphi :2^{X}\rightarrow [0,\infty ]$

且滿足以下條件：

• 空集合的外測度為零：

$\varphi (\varnothing )=0$

• 單調性：

$A\subseteq B\Rightarrow \varphi (A)\leq \varphi (B)$

• 次可加性: 對 X 的任意子集序列 $\{A_{j}\}$（不管兩兩交集是否空集合）

$\varphi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_{j})$

接著可以藉由外測度來定義 X 中的可測集合：子集合 $E\subseteq X$ 是 $\varphi$-可測的，若且唯若對 $X$ 的任意子集合 $A$ 有：

$\varphi (A)=\varphi (A\cap E)+\varphi (A\cap E^{c}).$

所有的 $\varphi$-可測集合構成了一個$\sigma$-代數 ，且如果 $\varphi$限制在我們剛定義的可測集合上時，$\varphi$ 會有可數可加的完備測度性質。這個方法是Carathéodory構造出來的，是構造勒貝格測度和積分理論的重要方法。

外測度與拓撲學

假設 $(X,d)$是一個度量空間且 $\varphi$是一個在 $X$之上的外測度。若 $\varphi$有以下性質 ：

只要

$d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,$

就有

$\varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)$

那麼稱$\varphi$是一個度量外測度。

如果$\varphi$是$X$上的度量外測度，那麼$X$的每個Borel子集都是$\varphi$-可測的。

外測度的構造

有幾種方法來構造一個集合上的外測度。下面兩種是特別有用的。

令$X$為一集合，$C$是$X$的包含空集的子集族，$p$是$C$上的非負擴展實數值函數，且$p$ 在空集處取零。

那麼定義

$\varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}$

則$\varphi$是一個外測度。

另一種方法在度量空間上更有效，因為它直接得到了度量外測度。設 $(X,d)$是一個度量空間，$C$是$X$的包含空集的子集族，$p$是$C$上的非負擴展實數值函數，且$p$在空集處取零。那麼，對任意$\delta >0$，令

$C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}$

及

$\varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.$

對$\delta \leq \delta '$有$\varphi _{\delta }\geq \varphi _{\delta '}$ 成立，因為$\delta$減小時，下確界是在更小的集合上取得的。所以

$\lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]$

存在（可能是無窮大）。

這樣構造的$\varphi _{0}$是一個度量外測度。這個構造也就是定義豪斯多夫維數時用的外測度。

參考

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950

• M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953