完備性 (統計學)

在統計學中， 完備性，又稱完全性是統計量的一個性質。 從本質上講，它確保不同的母數值對應的分布是不同的。一個具有完備性的統計量稱為完全統計量。

定義

考慮一個隨機變數 $X$ ，其機率分布 $P_{\theta }$ 以 $\theta$ 為母數。稱一個統計量 $s$ 是完全的，若對任意可測函數 $g$，

如果對所有 $\theta$ 都有 $E(g(s(X)))=0$，則 $P_{\theta }(g(s(X))=0)=1$ 對所有 $\theta$ 都成立。

若對上述函數 $g$ 加上有界的條件，則稱該統計量為有界完全的。

例子

若$X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$是來自母數為$p$的伯努利分布的獨立隨機樣本，其中$p\in (0,1)$。統計量$T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}$是$p$的完全統計量。注意到$T$服從母數為$n$和$p$的二項分布。若有某個$g$，使得$E_{p}(g(T))=0$對$p\in (0,1)$都成立，則

$0=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}g(i)=(1-p)^{n}\sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{i},p\in (0,1).$

令$r=p/(1-p)\in \mathbb {R}$，則多項式$\sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}r^{i}$在$\mathbb {R}$上恆為0。可知其每一項係數都為0，進而得到$g=0$。由定義，$T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}$是$p$的完全統計量。

完備性的重要性

巴蘇定理

主條目：巴蘇定理

有界完備性出現在巴蘇定理中， 它指出任何有界完全且充分的統計量與任何輔助統計量獨立。

Bahadur定理

有界完備性也出現在Bahadur定理中。 定理指出，當至少存在一個最小充分統計量時，如果一個統計量是充分的並且有界完全的，則它是一個最小充分統計量。

參考文獻

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