尾波英語wake)是固體在划過流體(特別是液體)表面時在尾部產生的V形傳播的,例如水鳥船舶勻速游過水體時在水面激起的後方波紋。因為由英國開爾文男爵——物理學家威廉·湯姆森(William Thomson,1824~1907)最先對船波進行數學研究,因此也稱為開爾文船波Kelvin wake或Kelvin ship wave)。

船隻尾波的鳥瞰圖
從前方觀測的船隻尾波

數學原理

船形物體的尾波形狀和福祿數 有密切關係。

 

其中g為重力常數,V是船速,l是船的長度。

令船的長度  .

對於長度大而速度低的輪船,Fr數小,開爾文船波主要是長波,其波前與速度矢量的夾角比較小。

而小快艇,長度小,速度高,Fr 數大,開爾文船波則以短波長的水波為主,而波前則與速度矢量成較大的夾角。[1]

開爾文船波動研究,對於船舶的設計有重要意義,因為船舶的馬力,有一部分消耗在激起船波。利用Fr數與速度成正比,與長度的平方根成反比的規律,可以利用小的模型,縮小船長 倍,同時縮小速度M倍,可以在實驗室中模擬海上舟。[2]

多鞍點函數積分

 
Integrand of Kelvin Wake Integral
 
Kelvin Ship Wake Integrand contour Maple plot

當船隻以速度V駛過深水湖面,波形的幅度在相對於船隻為靜止的極坐標( 中在船隻的速度矢量方向, ),由下列公式表示[3]

 

其中 

 福祿數的平方 

 為重力常數 為船的長度。

上列K函數是下列多鞍點積分的正數部分:

  其中,多鞍點積分的核函數為

 

此核函數是一個多鞍點函數,振盪劇烈如圖

求其極點,

 

解之,得

 

由此

 度,

 

這就是凱爾文船波的V型波包線的夾角,最早由凱爾文男爵發現,而且角度與船速無關.[4][5]至於波紋本身則與船速矢量的夾角為

 °[1]

開爾文駐相法

 
Kelvin Wake (Maple density plot)
 
開爾文船波波形

開爾文船波積分 必須通過數值積分計算。開爾文男爵根據被積分函數在積分區間內劇烈震盪的特點,提出了駐相法(Method of Stationary Phase)。

原理:當被積分函數劇烈震盪時,除了在極點外,震盪的被積分函數正負相抵消,因此可以將此被積分函數在極點的值作為整個積分的近似,駐相法乃是拉普拉斯方法的推廣。[6]

被積分函數   的兩個極點是:

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


開爾文船波的波峰,由下列兩個參數方程式描述[7]

 

 

外部連結

腳註

  1. ^ 1.0 1.1 James LightHill, p274
  2. ^ James Lighthill p275
  3. ^ Frank Oliver, p790-791
  4. ^ Shu, Jian-Jun. Transient Marangoni waves due to impulsive motion of a submerged body. International Applied Mechanics. June 2004, 40 (6): 709–714. Bibcode:2004IAM....40..709S. arXiv:1402.4474 . doi:10.1023/B:INAM.0000041400.70961.1b. 
  5. ^ Shu, Jian-Jun. Transient free-surface waves due to impulsive motion of a submerged source. Underwater Technology. 1 September 2006, 26 (4): 133–137. arXiv:1402.4387 . doi:10.3723/175605406782725023. 
  6. ^ Frank Oliver, p790-795
  7. ^ James LightHill,p277

參考文獻

  • Frank J. Oliver, NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010, Cambridge University Press
  • Jame Lighthill Waves in Fluids, Cambridge University Press 1979