彈性力學

彈性力學 (Theory of Elasticity)，也稱彈性理論，是固體力學的一個分支，研究彈性體由於受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發生的應力、形變和位移問題。

基本概念與基本假設

基本概念

參見：力、應力、應變 (物理學)、形變、位移和彈性 (物理學)

作用於物體的外力可分為體積力（body force）和表面力 （surface force）。體積力是作用在物體內部體積上的外力，簡稱體力，例如重力、慣性力、電磁力等。表面力是作用在物體表面上的外力，簡稱面力，例如流體壓力、接觸力等。

基本假設

1. 連續性：假定物體是連續的，即整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿，不留下任何空隙，並且在整個變形過程中保持其連續性。
2. 完全彈性：假定物體是完全彈性的，即物體在引起形變的外力去除後能完全恢復其初始的形狀和尺寸，物體的形變與其所受外力具有一一對應的函數關係。
3. 均勻性：假定物體是均勻的，即整個物體的所有部分具有相同的彈性性質。
4. 各向同性：既定物體是各向同性的，即物體的彈性性質在所有各個方向都相同，與考察方向無關。
5. 小變形：假定物體受力後的位移和形變是微小的，整個物體所有個點的位移都遠小於物體原來的尺寸，且應變與轉角都遠小於1。

對符合上述前4項假定的物體，稱為理想彈性體。

基本方程式

平衡方程式

應力形式的靜力平衡方程式

${\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+X=0\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+Y=0\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+Z=0\\\end{aligned}}$

張量形式

$\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+{\boldsymbol {f}}={\boldsymbol {0}}$

幾何方程式

應變與位移關係式

${\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad \gamma _{yz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)\\\epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad \gamma _{zx}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\\\epsilon _{z}={\frac {\partial w}{\partial z}},\quad \gamma _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\\\end{aligned}}$

張量形式(向量)

${\boldsymbol {\epsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {u}}\nabla +\nabla {\boldsymbol {u}}\right)$

等向性材料的應力與應變關係式(虎克定律)（本構方程式）

參見：彈性模量、卜瓦松比和剪切模量

${\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{x}-\nu \left(\sigma _{y}+\sigma _{z}\right)\right],\quad \gamma _{yz}={\frac {1}{G}}\tau _{yz}\\\epsilon _{y}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{y}-\nu \left(\sigma _{z}+\sigma _{x}\right)\right],\quad \gamma _{zx}={\frac {1}{G}}\tau _{zx}\\\epsilon _{z}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{z}-\nu \left(\sigma _{x}+\sigma _{y}\right)\right],\quad \gamma _{xy}={\frac {1}{G}}\tau _{xy}\\\end{aligned}}$

平面問題

平面應力問題

$\sigma _{z}=\tau _{zx}=\tau _{zy}=0$

平面應變問題

$\epsilon _{z}=\gamma _{zx}=\gamma _{zy}=0$

參見

• 虎克定律
• 材料力學
• 結構力學
• 有限單元法