彭尼的遊戲
彭尼的遊戲（Penney's game）由沃爾特·彭尼（Walter Penney）提出，是一個兩個玩家之間生成用「正面」和「反面」為代稱產生二進制數列的遊戲。玩家A報出至少包含3個項、每項只能是正面或反面的序列，然後展示給玩家B；玩家B則給出等長的正面反面序列。隨後, 投擲一面均勻的硬幣，觀察正反，直至投擲出一段序列剛好和某個玩家的序列吻合，則該名玩家獲勝。
將序列中每個正面或者反面的判斷稱為比特（bit），使用長度為3比特的序列，玩家B相對玩家A有優勢。這是因為這個遊戲是一個非傳遞博弈，所以無論如何選定第一個序列，總會有一個序列有更大的獲勝概率。
長度為3bit的遊戲分析
長度為3比特的遊戲中,第二名玩家可以通過以下途徑最大化其勝算（odds）：
（H表示正面朝上，T表示反面朝上）
| 1號玩家 | 2號玩家 | 2號玩家勝算 |
|---|---|---|
| HHH | THH | 7：1 |
| HHT | THH | 3：1 |
| HTH | HHT | 2：1 |
| HTT | HHT | 2：1 |
| THH | TTH | 2：1 |
| THT | TTH | 2：1 |
| TTH | HTT | 3：1 |
| TTT | HTT | 7：1 |
簡單的來說，對於2號玩家可以記下如下的序列作為獲勝的技巧或者是討喜的技巧（bar trick）：第一個比特與1號玩家的第二個比特相反，第二個比特與1號玩家的第一個比特相同，第三個比特與1號玩家的第二個比特相同。
- 如果1號玩家選擇了「1-2-3」為順序編號的序列，每個編號代表一個比特(正面/反面)，
- 那麼2號玩家則應該選擇：(與2相反)-1-2 [1]
這一結果有一個直觀的解釋：依照這種方法，當1號玩家猜測的前兩比特剛好對上時，2號玩家的後兩比特也對上，而1號玩家仍需要再猜測一輪才知曉是否勝利，直覺上而言，認為2號玩家更可能先猜全序列而成為贏家。[1]
3bit以上情形分析
在比特不小於4時1號玩家的優化策略由J.A. Csirik提出的(見參考資料)。這一策略即是選擇HTTTT.....TTTHH( T's)這樣的序列。在此情形下，2號玩家的最大勝率為 。
帶撲克牌的變種
其中一種變種使用一套普通的撲克牌，被稱為Humble-Nishiyama隨機性遊戲。該遊戲遵從與彭尼的遊戲同樣的格式，只不過把猜正反改成猜紅牌黑牌。[2][3]
遊戲規則如下：
- 遊戲開始時，各玩家決定在遊戲中使用的對於連續三張卡片的顏色猜測順序。每次抽出一張卡片，並按順序放成一線，直至被選的三聯順序出現。選中這一順序的玩家拿走最後對上的三張牌, 稱為拿到1個「trick」。遊戲用餘下牌繼續，直至玩家不斷地拿到「trick」所有牌被拿完為止。拿了最多「trick」的玩家即為贏家。
這一遊戲通常會包含7個「trick」。基於撲克牌的遊戲非常接近於原先遊戲的重複，2號玩家的優勢被極大地放大。但是概率有略微不同，因為投硬幣得到的兩個結果是獨立的，而取出紅牌於黑牌的概率取決於之前的抽牌。記紅為R，黑為B，正面為H，反面為T，可以注意到HHT對比HTH和HTT的概率比是2：1，但BBR對比BRB和BRR的概率比各不相同。
以下為電腦模擬對每種策略的結果的估算概率：[4]
| 1號玩家 | 2號玩家 | 1號玩家勝算 | 2號玩家勝算 | 平局概率 |
|---|---|---|---|---|
| BBB | RBB | 0.11% | 99.49% | 0.40% |
| BBR | RBB | 2.62% | 93.54% | 3.84% |
| BRB | BBR | 11.61% | 80.11% | 8.28% |
| BRR | BBR | 5.18% | 88.29% | 6.53% |
| RBB | RRB | 5.18% | 88.29% | 6.53% |
| RBR | RRB | 11.61% | 80.11% | 8.28% |
| RRB | BRR | 2.62% | 93.54% | 3.84% |
| RRR | BRR | 0.11% | 99.49% | 0.40% |
如果遊戲在多於1個trick時結束，平局概率微乎其微。2號玩家的勝率如下表所示：
| 1號玩家 | 2號玩家 | 2號玩家勝算 |
|---|---|---|
| BBB | RBB | 7.50：1 |
| BBR | RBB | 3.08：1 |
| BRB | BBR | 1.99：1 |
| BRR | BBR | 2.04：1 |
| RBB | RRB | 2.04：1 |
| RBR | RRB | 1.99：1 |
| RRB | BRR | 3.08：1 |
| RRR | BRR | 7.50：1 |
帶輪盤的變體
Robert W. Vallin以及後來他和Aaron M. Montgomery一起發表了有關賭便士問題的研究結果。他們把這一遊戲改編為（美式）輪盤，玩家們通過選擇紅色或黑色，而不是硬幣的正面反面，來進行遊戲。這種情況下，球落在紅色與黑色區域的概率各為9/19，而球落在綠色區域的概率為1/19。綠色區域有很多解讀方式：
- (1)作為狀況外卡牌，既可以當黑也可以當紅；
- (2)意即本輪無效須重來，或者遊戲直接結束；
- (3)作為一種非紅非黑的顏色參與到序列中。
其研究結果計算了勝算與結束遊戲所需要的回合數。[5]
參見
參考資料
- ^ 1.0 1.1 Predicting a coin toss （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by 'Scam School' (on YouTube)
- ^ Winning Odds （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Yutaka Nishiyama and Steve Humble
- ^ Humble-Nishiyama Randomness Game - A New Variation on Penney’s Coin Game （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） on CiteSeer
- ^ Results are broadly in line with those in Steve Humble and Yutaka Nishiyama, Humble-Nishiyama Randomness Game Mathematics Today August 2010 p 143 - A new variation on Penney’s Coin Game [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
- ^ Jennifer Beineke; Jason Rosenhouse; Robert W. Vallin. The Mathematics of Various Entertaining Subjects: Research in Games, Graphs, Counting, and Complexity, Volume 2. Princeton: Princeton University Press. 2017-09-05. ISBN 9780691171920.
- Walter Penney, Journal of Recreational Mathematics, October 1969, p. 241.
- Martin Gardner, "Time Travel and Other Mathematical Bewilderments", W. H. Freeman, 1988.
- L.J. Guibas and A.M. Odlyzko, "String Overlaps, Pattern Matching, and Nontransitive Games", Journal of Combinatorial Theory, Series A. Volume 30, Issue 2, (1981), pp 183–208.
- Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway and Richard K. Guy, "Winning Ways for your Mathematical Plays", 2nd Edition, Volume 4, AK Peters (2004), p. 885.
- S. Humble & Y. Nishiyama, "Humble-Nishiyama Randomness Game - A New Variation on Penney's Coin Game", IMA Mathematics Today. Vol 46, No. 4, August 2010, pp 194–195.
- Steve Humble & Yutaka Nishiyama, "Winning Odds" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Plus Magazine, Issue 55, June 2010.
- Yutaka Nishiyama, Pattern Matching Probabilities and Paradoxes as a New Variation on Penney’s Coin Game （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, International Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol.59, No.3, 2010, 357-366.
- Ed Pegg, Jr., "How to Win at Coin Flipping" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Wolfram Blog （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, 30 November 2010.
- J.A. Csirik, "Optimal strategy for the first player in the Penney ante game", Combinatorics, Probability and Computing, Volume 1, Issue 4 (1992), pp 311–321.
- Robert W. Vallin 「A sequence game on a roulette wheel,」 The Mathematics of Very Entertaining Subjects: Research in Recreational Math, Volume II, Princeton University Press, (to be published in 2017)
- James Brofos, "A Markov Chain Analysis of a Pattern Matching Coin Game." arXiv:1406.2212 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (2014).