拉蓋爾多項式

數學中,以法國數學家埃德蒙·拉蓋爾英語Edmond Laguerre命名的拉蓋爾多項式定義為拉蓋爾方程式的標準解。

這是一個二階線性微分方程式

這個方程式只有當n非負時,才有非奇異解。拉蓋爾多項式可用在高斯積分法中,計算形如的積分。

這些多項式(通常用L0L1等表示)構成一個多項式序列英語polynomial sequence。這個多項式序列可以用羅德里格公式遞推得到。

在按照下式定義的內積構成的內積空間中,拉蓋爾多項式是正交多項式

拉蓋爾多項式構成一個Sheffer序列英語Sheffer sequence

拉蓋爾多項式在量子力學中有重要應用。氫原子薛丁格方程式的解的徑向部分,就是拉蓋爾多項式。

物理學家通常採用另外一種拉蓋爾多項式的定義形式,即在上面的形式的基礎上乘上一個n!。

前幾個拉蓋爾多項式

前幾個拉蓋爾多項式的表達式與函數圖像如下:

n  
0  
1  
2  
3  
4  
5  
6  
 
前六個拉蓋爾多項式

遞迴定義

拉蓋爾多項式也可以通過遞迴的方式進行定義。首先,規定前兩個拉蓋爾多項式為:

 
 

然後運用下面的遞迴關係得到更高階的多項式。

 

廣義拉蓋爾多項式

上面提到的拉蓋爾多項式的正交性,也可以用另外一種方式表達。即:如果X是一個服從指數分布隨機變數(即,機率密度函數如下式):

 

那麼:

 

指數分布不是唯一的伽瑪分布,對於任意的伽瑪分布(機率密度函數如下,α > −1,參見Γ函數

 

相應的正交多項式為形如下式的廣義拉蓋爾多項式(可以通過羅德里格公式得到):

 

有時也將上面的多項式稱為連帶(聯屬,伴隨)拉蓋爾多項式。當取α = 0時,就回到拉蓋爾多項式:

 

廣義拉蓋爾多項式的性質與應用

  • 拉蓋爾函數可以由合流超幾何函數和Kummer轉換得到:       為整數時,截斷為 階拉蓋爾多項式。
  •  階拉蓋爾多項式可以通過將萊布尼茨乘積求導公式英語Leibniz's theorem for differentiation of a product應用在羅德里格公式上而得到,結果為 
  • n階拉蓋爾多項式的首項係數為(−1)n/n!;
  • 拉蓋爾多項式在x=0的取值(常數項)為  
  • Ln(α)n的正(應該注意到  構成以史特姆序列),且這些根全部位於區間 中。
  •  很大,而 不變, 時,拉蓋爾多項式的漸近行為如下:
 ,以及
 [1]
  • 前幾個廣義拉蓋爾多項式為:
 
 
 
 
  • 根據拉蓋爾多項式的定義,可以使用秦九韶算法計算拉蓋爾多項式,程序代碼如下:
 function LaguerreL(n, alpha, x) {
    LaguerreL:= 1; bin:= 1 
    for i:= n to 1 step -1 {
        bin:= bin* (alpha+ i)/ (n+ 1- i)
        LaguerreL:= bin- x* LaguerreL/ i
    }
    return LaguerreL;
 }

遞迴關係

拉蓋爾多項式滿足以下的遞迴關係:

 

特別地,有

 以及 ,或 

還有

 

運用以上式子可以得到以下四條關係式:

  •   
  •   or  
  •  
  •  

將它們組合在一起,就得到了最常用的遞迴關係式:

 

  均為整數時,拉蓋爾多項式有以下的有趣性質:

 

進一步可以得到部分分式分解

 

拉蓋爾多項式的導函數

將拉蓋爾多項式對自變數x求導k次,得到:

 

進一步有:

 

運用柯西多重積分公式英語Cauchy formula for repeated integration可以得到:

 

將拉蓋爾多項式對參變量 求導,得到下面的有意思的結果:

 

廣義拉蓋爾多項式滿足下面的微分方程式:

 

可以與拉蓋爾多項式的k階導數所滿足的微分方程式作一比較。

 

僅在此式中, (後面這個符號又有了新的含義)。

於是,當 時,廣義拉蓋爾多項式可以用拉蓋爾多項式的導數表示:   式中的上標(k)容易與求導k次混淆。

正交性

伴隨拉蓋爾多項式在區間[0, ∞)上以權函數xα e −x正交:

 

這可由下式得到:

 

伴隨對稱核多項式可以用拉蓋爾多項式表示為:

 

也有下面的遞迴關係:

 

進一步地,在伴L2[0, ∞)空間上,有:

 

在氫原子的量子力學處理中用到了下面的公式:

 

級數展開

設一個函數具有以下的級數展開形式:

 

則展開式的係數由下式給出

 

這個級數在Lp空間 上收斂,若且唯若

 

一個相關的展開式為:

 

特別地

 

這可由下式得到:

 

還有,當 時,

 

這個結果可以由下式導出,

 

更多的例子

冪函數可以展開為:

 

二項式可以展開為:

 

進一步可以得到:

 (若且唯若  時收斂)

更一般地

 

對於非負的整數 ,可以化簡為:

 

 時,可以化簡為:

 
 

雅可比Theta 函數有下面的表示:

 

隨意選定參量t,貝索函數可以表示為:   Γ函數可以展開為:

 

低階不完全伽瑪函數可展開為:

 
 

還有:

 

於是,高階不完全伽瑪函數就是:

 

 表示超幾何函數

圍道積分表示

拉蓋爾多項式可以用圍道積分表示,如下式所示:

 

積分方向逆時針繞原點一周。

與埃爾米特多項式的關係

廣義拉蓋爾多項式與埃爾米特多項式有下列關係:

 

以及

 

這裡的Hn表示乘上了exp(−x2)的埃爾米特多項式(所謂的「物理學家形式」)。 正因為這樣,廣義拉蓋爾多項式也在量子諧振子的量子力學處理中出現。

與超幾何函數的關係

拉蓋爾多項式可以用超幾何函數來定義,具體地說,是用合流超幾何函數定義:

 

 階乘冪,這裡表示升階乘

與貝索函數的關係

拉蓋爾多項式與變形貝索函數之間有以下關係:

 

進一步有:

 

外部連結

注釋

  1. ^ Abramowitz, p. 506, 13.3.8頁面存檔備份,存於網際網路檔案館

參考文獻

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
  • B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
  • Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
  • George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. 2000. ISBN 0-12-059825-6. 
  • S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.