支撐函數

在數學領域內，$\mathbb {R} ^{n}$的一個非空的閉凸子集$A$的支撐函數$h_{A}$，描述了從$A$的支撐超平面（supporting hyperplane）到原點的距離。$h_{A}$是$\mathbb {R} ^{n}$上的一個凸函數。任意一個非空的閉凸子集都可以由它的支撐函數唯一確定。進一步地，$h_{A}$作為集合$A$上的函數，與這個集合上許多幾何變換是相容的，比如伸縮變換、平移變換、旋轉變換以及閔可夫斯基和。因為具有這些性質，支撐函數是凸分析或凸幾何中最基礎與重要的概念。

定義

$\mathbb {R} ^{n}$的非空閉凸子集$A$的支撐函數是：

$h_{A}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto \sup\{x\cdot a:a\in A\}$，其中${\textstyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

下面的性質並不要求集合A是閉且凸的：在$h_{A}(x)$有界時，集合$\{u\in \mathbb {R} ^{n}:u\cdot x\leq h_{A}(x)\}$表示最小的包含A的閉的半空間（half-space）；進一步地，集合${\mathcal {H}}_{x}=\{u\in \mathbb {R} ^{n}:u\cdot x=h_{A}(x)\}$就是A的支撐超平面（supporting hyperplane）。

原點到A的支撐超平面的距離$d_{{\mathcal {H}}_{x}}(0)$滿足這樣的關係：$d_{{\mathcal {H}}_{x}}(0)={\frac {h_{A}(x)}{|x|}}$。取x 的模為1 就利用A的支撐函數描述了A的支撐超平面到原點的距離。

例子

• 單點集的支撐函數：${\textstyle A=\{a\}}$，${\textstyle h_{A}(x)=x\cdot a}$
• 單位球的支撐函數：${\textstyle B_{1}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\leq 1\}}$，$h_{B_{1}}(x)=|x|$
• 取A為從a到-a的線段，則有：$h_{A}=|x\cdot a|$