普呂克坐標

數學上,普呂克坐標是將射影三維空間中的每條線給予6個齊次坐標,也就是一個射影5維空間中的一點。普呂克坐標由尤利烏斯·普呂克於1844年給出。

定義

令L為一直線,穿過點 和點 

定義  的行列式。

這蘊涵著  .

考慮六元組 。不是所有6個都可以同時為0,因為如果是的話,所有  子矩陣都是零,則該矩陣最多秩為1,這個p及q為不同點的假設不符。

p和q的選取對於6元組的影響只是一個非零因子,如下所示:

考慮  為L上不同點,其中  。 p'和q'不同的假設歸結為 。 可以檢驗:  這樣, 

稱W為所有PG(3,K)中的直線的集合。我們現在恰當地定義一個映射 :從W到一個K上的5維射影空間:  

到克萊因二次曲面的單射性和滿射性