有界集合

數學分析和有關的數學領域中,如果一個集合在某種意義上有有限大小,則稱為有界。反過來說,不是有界的集合就叫做無界

(頂上的)有界集合和(底下的)無界集合的示意圖。底下的這個集合一直向右延續。

定義

如果存在一個實數  ,使得對於所有   中的   實數集合   被稱為「上有界」的,這個數   被稱為  上界。可用類似的定義術語「下有界」和下界

如果集合   有上界和下界二者,則它是有界的。所以,如果一個實數集合包含在有限區間內,則它是有界的。

度量空間

度量空間  子集  有界的,如果它包含在有限半徑的內,就是說如果對於所有   中的  ,存在   中的   並且  ,使得    是有界度量空間(或   是有界度量),如果   作為自身的子集是有界的。

  • 完全有界性蘊涵有界性。對於   的子集下列二者是等價的。
  • 度量空間是緊緻的,若且唯若它是完備的並且是完全有界的。
  • 歐幾里得空間   的子集是緊緻的,若且唯若它是閉集並且是有界的。

拓撲向量空間內的有界性

拓撲向量空間中,存在一個有界集合的不同定義,通常叫做馮·諾伊曼有界性。如果拓撲向量空間的拓撲是由均勻度量所誘導,如度量是由賦范向量空間範數所誘導的情況,則這兩個定義是一致的。

序理論中的有界性

一個實數集合是有界的,若且唯若它有上界和下界。這個定義可擴展到任何偏序集合的子集。注意這個更一般的有界性概念不對應於「大小」的概念。

對於偏序集合   的子集  ,如果   中的所有元素  ,都小於   中的某個元素  ,也就是對於所有  ,其中  ,則稱S上有界的(bounded above),而元素   稱為  上界。同理可定義下有界下界。(參見上界和下界。)

偏序集合   的子集   叫做有界的,如果它有上界和下界二者,或等價的說,它被包含在一個區間內。注意這不是集合   自己的一個性質,而是集合   作為   的子集的性質。

有界偏序集合  (就是說自身就是有界而不是作為子集)是有最小元素最大元素的偏序集合。注意這個有界性的概念與有限大小無關,有界偏序集合   的子集    的次序(的限制)下也不必然是有界偏序集合。

  的子集   是關於歐幾里得距離有界的,若且唯若它在乘積序英語Product order下作為   的子集是有界的。但是,  可以是在字典序下有界,而不關於歐幾里得距離有界。

序數的類被稱為是無界的,或共尾的,在給定任何序數的時候,總是有這個類的某個成員大於它。所以在這種情況下,「無界」不意味著自身是無界的而是作為序數類的子類是無界的。

參見