格爾豐德-施奈德常數

格爾豐德-施奈德常數即為2的次方,其值為:

2的次方
2的次方
命名
名稱格爾豐德-施奈德常數
希爾伯特數[1]
識別
種類無理數
超越數
符號
位數數列編號OEISA007507
表示方式
2.6651441...
二進制10.101010100100011011100010
十進制2.665144142690225188650297
十六進制2.AA46E2F3FB0062E316C62EDE

羅季翁·庫茲明在1930年證明此數字是超越數[2]。 1934年蘇聯數學家亞歷山大·格爾豐德和德國數學家西奧多·施耐德分別獨立證明了更一般的格爾豐德-施奈德定理[3],因此證明格爾豐德-施奈德常數為超越數,也回答了希爾伯特第七問題

它的平方根

也是一個超越數。在無理數的無理數次方為有理數這個命題中,它可用來提供一個經典、簡捷的證明。

無理數的無理數次方為有理數

儘管已知   是超越數,自然也就會是無理數。但在不知道它是無理數的情況下,仍可以證明此事。

命題:在在 a, b 是無理數,使得  為有理數。

證明:

已知 是無理數,考慮  ,它有可能是有理數,也可能是無理數。

  •   是有理數,即得證。
  •   是無理數,則
 

為有理數,得證。

希爾伯特第七問題

希爾伯特的第七個問題是要證明(或找出反例),如果a是一個不等於0或1的代數數,b是一個無理代數數,則ab總是超越數。他給出了兩個例子,其中一個就是 

1919年,他發表了一個關於數論的演講,談到了三個猜想:黎曼猜想費馬大定理 的超越性。他對觀眾說,在你們還活著的時候肯定沒人證明這三個猜想。[4]但這個數的超越性在1934年得出證明[5],當時希爾伯特還活著。

參見

參考文獻

  1. ^ Courant, R.; Robbins, H., What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press: 107, 1996 
  2. ^ R. O. Kuzmin. On a new class of transcendental numbers. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. matem. 1930, 7: 585–597. 
  3. ^ Aleksandr Gelfond. Sur le septième Problème de Hilbert. Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. 1934, VII (4): 623–634 [2021-11-01]. (原始內容存檔於2020-06-11). 
  4. ^ David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920.
  5. ^ Aleksandr Gelfond, Sur le septième Problème de Hilbert, Bull. Acad. Sci. URSS Leningrade 7, pp.623-634, 1934.