模糊集

元素具有归属度的集合

模糊集模糊數學上的一個基本概念,是數學上普通集合的擴展。

定義

給定一個論域  ,那麼從 到單位區間 的一個映射 稱為 上的一個模糊集,或 的一個模糊子集[1]

表示

模糊集可以記為 。映射(函數) 或簡記為 叫做模糊集 隸屬函數。對於每個  叫做元素 對模糊集 隸屬度

模糊集的常用表示法有下述幾種:

  1. 解析法,也即給出隸屬函數的具體表達式。
  2. Zadeh記法,例如 。分母是論域中的元素,分子是該元素對應的隸屬度。有時候,若隸屬度為0,該項可以忽略不寫。
  3. 序偶法,例如 ,序偶對的前者是論域中的元素,後者是該元素對應的隸屬度。
  4. 向量法,在有限論域的場合,給論域中元素規定一個表達的順序,那麼可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式,如 

和傳統集合的關係

和傳統的集合一樣,模糊集也有它的元素,但可以談論每個元素屬於該模糊集的程度,其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由盧菲特·澤德(1965)所引進的,是經典集合論的一種推廣[2]。在經典的集合論中,所謂的二分條件規定每個元素只能屬於不屬於某個集合(因此模糊集不是集合);可以說,每個元素對每個集合的歸屬性(membership)都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個歸屬函數(membership function),其值允許取閉區間 單位區間)中的任何實數,用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集 的歸屬函數為  ,而   為三個元素;如果   ,則可以說 「 完全屬於 」,「 完全不屬於 」,「  的歸屬度為 」(注意沒有說「 有一半屬於 」,因為尚未規定 的歸屬度具有甚麼特殊含義)。作為特例,當歸屬函數的值只能取 0 或 1 時,就得到了傳統集合論常用的指示函數(indicator function)[3]。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」(crisp set)。

截集與截積

  上的模糊集(記作  ),任取  ,則

 

   截集,而 稱為閾值或置信水平。將上式中的 替換為 ,記為 ,稱為強截集

截集和強截集都是經典集合。此外,顯然  ,即 ;如果 ,則稱 為正規模糊集,否則稱為非正規模糊集。

截積是數與模糊集的積:

  ,則   截積(或稱為 截集的數乘,記為 )定義為:

 

根據定義,截積仍是 上的模糊集合。

分解定理與表現定理

分解定理

 ,則

 

即任一模糊集 都可以表達為一族簡單模糊集 的並。也即,一個模糊集可以由其自身分解出的集合套而「拼成」。

表現定理

  上的任何一個集合套,則

 

 上的一個模糊集,且 ,有

(1) 

(2) 

即任一集合套都能拼成一個模糊集。

模糊度

一個模糊集 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度,一個直觀的定義是這樣的:

設映射 滿足下述5條性質:

  1. 清晰性: 若且唯若 。(經典集的模糊度恆為0。)
  2. 模糊性: 若且唯若  。(隸屬度都為0.5的模糊集最模糊。)
  3. 單調性: ,若 ,或者 ,則 
  4. 對稱性: ,有 。(補集的模糊度相等。)
  5. 可加性: 

則稱 是定義在 上的模糊度函數,而 為模糊集 模糊度

可以證明符合上述定義的模糊度是存在的[4],一個常用的公式(分別針對有限和無限論域)就是
 
其中 是參數,稱為 Minkowski 模糊度。特別地,當 的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標,當 的時候稱為 Euclid 模糊度。

模糊測度(Fuzzy measures)

 是輿集 的一種。

 函數定義 ,包含下列3項特性稱為模糊測度:

 

--- 函數代0值,表示沒有值為空值,用數學0來表示。 函數代 表示輿集全部帶進去了塞滿了,用1表示塞滿。

②若  , 則 .

--- 是屬於 的一部分,  裡面也可能跟 一樣大,則 

③If   ,   ⊆…,then  

---當 屬於 同時 包含於 ,則將 代入 函數趨小所得的值等同於先趨小 再代入 函數所求得的值。

模糊量測(measures of fuzziness)

模糊集的運算

各種算子

  • Zadeh 算子, 即為並, 即為交

 

  • 代數算子(概率和、代數積)

 

  • 有界算子

 

  • Einstein 算子

 

  • Hamacher 算子,其中 是參數,等於1時轉化為代數算子,等於2時轉化為 Einstein 算子

 

  • Yager 算子,其中 是參數,等於1時轉化為有界算子,趨於無窮時轉化為 Zadeh 算子

 

  •  算子,其中 是參數

 

  • Dobois-Prade 算子,其中 是參數

 

算子的性質

參見集合代數布爾代數

主要算子的性質對比表如下(.表示不滿足,-表示未驗證):

算子 結合律 交換律 分配律 互補律 同一律 冪等律 支配律 吸收律 雙重否定律 德·摩根律
Zedah .
代數 . . . . -
有界 . . -

線性補償是指: [5]

算子的並運算 冪等律 排中律 分配律 結合律 線性補償
Zadeh . .
代數 . . . .
有界 . . .
Hamacher r = 0 . . . .
Yager . . . .
Hamacher . . . .
Dobois-Prade . . . .

模糊集之間的距離

使用度量理論

可以使用一般的度量理論來描述模糊集之間的距離。在這個意義上,我們需要在模糊冪集 上建立一個度量,此外,我們還可能需要將此度量標準化,也即映射到 區間上。例如可以這樣來標準化 Minkowski 距離:

 

貼近度

另一種是使用貼近度概念。在某種意義上,貼近度就是 1 - 距離(這裡的距離是上述標準化意義上的距離)。而之所以應用這個變換,是考慮到「度」的概念的直覺反映——距離越近,貼近的程度顯然越「高」,因此它恰為距離的反數。

除了距離外,還有一些與模糊集的特殊操作有關係的貼近度定義。

  • 最大最小貼近度
 
  • 算術平均最小貼近度
 
  • 幾何平均最小貼近度
 
  • 指數貼近度
 

參見

參考文獻

  1. ^ 要注意,嚴格地說,模糊集或子集是映射所確定的序對集,但由於模糊子集完全由其隸屬函數所確定,因而我們不區分映射和映射所確定的序對集,而總是直接把模糊子集定義為一個滿足上述定義的映射。
  2. ^ L. A. Zadeh (1965) "Fuzzy sets" 網際網路檔案館存檔,存檔日期2007-11-27.. Information and Control 8 (3) 338–353.
  3. ^ D. Dubois and H. Prade (1988) Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York.
  4. ^ 陳水利等,模糊集理論及其應用,科學出版社,2005年,第20頁。
  5. ^ Etienne E. Kerre 等,模糊集理論與近似推理,武漢大學出版社,2004年,第103頁。