沙滕範數

泛函分析中，沙滕範數（Schatten norm，或沙滕–馮·諾依曼範數，Schatten–von-Neumann norm）來自p-可積的推廣，與跡類範數、希爾伯特-施密特範數相似。

定義

令$H_{1},\ H_{2}$是希爾伯特空間，$T:\ H_{1}\to H_{2}$是（線性）有界算子。對$p\in [1,\infty )$，定義T的沙滕p-範數為

$\|T\|_{p}=[\operatorname {Tr} (|T|^{p})]^{1/p},$

其中$|T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}$，平方根是算子平方根。

若T是緊的、$H_{1},\,H_{2}$可分離，則

$\|T\|_{p}:={\bigg (}\sum _{n\geq 1}s_{n}^{p}(T){\bigg )}^{1/p}$

T的奇異值（即厄米算子$|T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}$的特徵值）滿足$s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq \cdots \geq s_{n}(T)\geq \cdots \geq 0$。

性質

下面將p的範圍推廣到$[1,\infty ]$，$\|\cdot \|_{\infty }$表示算子範數。指標$p=\infty$的對偶是$q=1$。

• 沙滕範數是酉不變的：對酉算子U、V、$p\in [1,\infty ]$，

$\|UTV\|_{p}=\|T\|_{p}.$

• 它們滿足赫爾德不等式：$\forall p\in [1,\infty ],\ q$使得${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$，以及定義在希爾伯特空間之間的算子$S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})$，

$\|ST\|_{1}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}.$

若$p,q,r\in [1,\infty ]$滿足${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}$，則

$\|ST\|_{r}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}$.

赫爾德不等式的這後一個形式有更一般情形的證明（對非交換$L^{p}$空間，而非沙滕-p類。對於矩陣，見）。

• 子乘性：$\forall p\in [1,\infty ]$、定義在希爾伯特空間$H_{1},H_{2},H_{3}$之間的算子$S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})$，

$\|ST\|_{p}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{p}.$

• 單調性：對於$1\leq p\leq p'\leq \infty$，

$\|T\|_{1}\geq \|T\|_{p}\geq \|T\|_{p'}\geq \|T\|_{\infty }.$

• 對偶性：令$H_{1},H_{2}$為有限維希爾伯特空間，$p\in [1,\infty ]$，q滿足${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$，則

$\|S\|_{p}=\sup \lbrace |\langle S,T\rangle |\mid \|T\|_{q}=1\rbrace ,$

其中$\langle S,T\rangle =\operatorname {tr} (S^{*}T)$表示希爾伯特-施密特算子。

• 令$(e_{k})_{k},(f_{k'})_{k'}$為希爾伯特空間$H_{1},H_{2}$的兩個正交基，則對$p=1$

$\|T\|_{1}\leq \sum _{k,k'}\left|T_{k,k'}\right|.$

備註

注意$\|\cdot \|_{2}$是希爾伯特-施密特範數（見希爾伯特-施密特算子），$\|\cdot \|_{1}$是跡類範數（見跡類算子），$\|\cdot \|_{\infty }$是算子範數（見算子範數）。 對$p\in (0,1)$，函數$\|\cdot \|_{p}$是擬賦范空間的例子。

具有有限沙滕範數的算子稱作沙滕類算子，其空間記作$S_{p}(H_{1},H_{2})$。此範數下$S_{p}(H_{1},H_{2})$是巴拿赫空間，對$p=2$是希爾伯特空間。

注意$S_{p}(H_{1},H_{2})\subseteq {\mathcal {K}}(H_{1},H_{2})$，後者即緊算子代數。這是因為，若和有限，則譜也有限或至多是可數無窮多，且以原點為極限點，因此是緊算子。

$p=1$情形常稱作核範數（或跡範數、樊𰋀n-範數）。

另見

矩陣範數#Schatten範數

參考文獻

• Rajendra Bhatia, Matrix analysis, Vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
• John Watrous, Theory of Quantum Information, 2.3 Norms of operators, lecture notes, University of Waterloo, 2011.
• Joachim Weidmann, Linear operators in Hilbert spaces, Vol. 20. Springer, New York, 1980.