在數學 裡，海森堡群 是以維爾納·海森堡 來命名的，為如下之三階上三角矩陣 所組成的群 ：
(
1
a
c
0
1
b
0
0
1
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}
元素a 、b 、c 可以取成某種交換環 ，一般會取成實數 環或整數 環。
若a 、b 、c 為實數 ，則可得到一個連續海森堡群 H3 (R )。其為一個冪零 李群 。
若a 、b 、c 為整數，則可得到一個離散海森堡群 H3 (Z )。其為一個非阿貝爾 冪零群 ，有兩個生成元
x
=
(
1
1
0
0
1
0
0
0
1
)
,
y
=
(
1
0
0
0
1
1
0
0
1
)
{\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}
並滿足關係
z
=
x
y
x
−
1
y
−
1
,
x
z
=
z
x
,
y
z
=
z
y
{\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ xz=zx,\ yz=zy}
其中，
z
=
(
1
0
1
0
1
0
0
0
1
)
{\displaystyle z={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}
為 H3 中心 之生成元。（x-1 ，y-1 和z-1 即分別將x，y和z主對角線上的1改為-1）
依貝斯定理 所述，其有一個4目的多項式增長率 。
若取a 、b 、c 在Z /p Z 內，則可得到一個模 p 海森堡群 。其為p 3 目的群 ，其中有兩個生成元x 和y ，滿足關係
z
=
x
y
x
−
1
y
−
1
,
x
p
=
y
p
=
z
p
=
1
,
x
z
=
z
x
,
y
z
=
z
y
{\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ xz=zx,\ yz=zy}
更一般性地，海森堡群 可以由任何一個辛向量空間 來建造。例如，令(V ,ω)為一個有限維實辛向量空間(故ω為於V 上之非退化 反對稱 雙線性形 )。在(V ,ω)(或簡稱V )上的海森堡群H (V )是一個附有群定律
(
v
1
,
t
1
)
⋅
(
v
2
,
t
2
)
=
(
v
1
+
v
2
,
t
1
+
t
2
+
1
2
ω
(
v
1
,
v
2
)
)
.
{\displaystyle (v_{1},t_{1})\cdot (v_{2},t_{2})=\left(v_{1}+v_{2},t_{1}+t_{2}+{\frac {1}{2}}\omega (v_{1},v_{2})\right).}
的集合。
海森堡群是加法群V 的中心擴張 。因此，會有一個正合序列
0
→
R
→
H
(
V
)
→
V
→
0.
{\displaystyle 0\to \mathbb {R} \to H(V)\to V\to 0.}
每一個辛向量空間都會允許有一個滿足ω(e j f k j k 達布基 {e j f k 1 ≤ j ,k ≤ n 。以此一基來敘述，每個向量都可以分解成
v
=
q
a
e
a
+
p
a
f
a
.
{\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}.}
其中的q a p a 正則坐標 。
若{e j f k 1 ≤ j ,k ≤ n 是V 的一個達布基，然後令{E 為R 的一個基，則{e j f k E }1 ≤ j ,k ≤ n 會是V ×R 的一個對應的基。一個在H (V )內的向量
v
=
q
a
e
a
+
p
a
f
a
+
t
E
{\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+tE}
可以等同於下列矩陣
[
1
p
t
+
1
2
p
q
0
1
q
0
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&p&t+{\frac {1}{2}}pq\\0&1&q\\0&0&1\end{bmatrix}}}
因此便給出了一個H (V )的真實矩陣表示 。
Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91) , (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9 . 
