海盜賽局

海盜賽局(英語:Pirate game),或強盜分金問題是一個簡單的數學賽局。該賽局描述了如果遵循經濟人的行為,結果可能與常人的直覺相悖。這也是最後通牒賽局的多參與者版本。

霍華德·派爾書中的海盜

賽局

有五個理性的海盜,A, B, C, D和E,找到了100個金幣,需要想辦法分配金幣。

海盜們有嚴格的等級制度:A比B職位高,B比C高,C比D高,D比E高。

海盜世界的分配原則是:等級最高的海盜提出一種分配方案。所有的海盜投票決定是否接受分配,包括提議人。並且在票數相同的情況下,提議人有決定權。如果提議通過,那麼海盜們按照提議分配金幣。如果沒有通過,那麼提議人將被扔出船外,然後由下一個最高職位的海盜提出新的分配方案。

海盜們基於三個因素來做決定。首先,要能存活下來。其次,自己得到的利益最大化。最後,在所有其他條件相同的情況下,優先選擇把別人扔出船外。[1]

結果

直覺上認為,A海盜會給自己分配很少,以避免被扔出船外。然而這和理論結果相差甚遠。

讓我們反過來看:如果只剩下D和E,D給自己100個金幣,給E 0個。因為D有決定權,所以分配達成。

如果剩下三個人(C,D和E),C知道D下輪會給E 0個金幣,所以C這輪給E 1個金幣,讓E支持自己以使得提議通過。因此如果剩下三個人,結果是C:99,D:0,E:1。

如果B, C, D 和 E 剩下, B 知道上述結果。所以為了避免被扔出去,他只需要給D 1個金幣,因為他有決定權,只需要D的支持就足夠了。因此他會提議 B:99, C:0, D:1,E:0。有人可能想到提議B:99, C:0, D:0,E:1,因為E知道即使把B扔出去,也不會得到更多了。但由於海盜會優先把別人扔出去,所以E會選擇殺死B,然後仍然可以從C的提議中得到相同金幣。(若要讓E同意他,就至少要給他2個金幣才行,這樣並不划算,因為這樣B自己只能得到98金幣,所以不用浪費金幣給E)

假設A知道所有的一切,他就能選擇讓C和E來支持他,提議變成:

  • A: 98金幣
  • B: 0金幣
  • C: 1金幣
  • D: 0金幣
  • E: 1金幣[1]

同樣的 A:98,B:0,C:0,D:1,E:1 或者其他的提議都不是最好的,因為D會選擇把A扔出去,然後從B那裡得到相同的金幣。(若要讓D同意他,就至少要給他2個金幣才行,這樣並不划算,因為這樣A自己只能得到97金幣,所以不用浪費金幣給D)

延伸

該賽局能很容易延伸到200個海盜(如果有更多金幣,甚至可以更多)。艾恩·史都華在1999年5月期的《科學美國人》中,將該賽局延伸到任意人數的海盜,得到十分有趣的結果。 [1]

設共有N個海盜,等級最低的海盜為1號,其次為2號,依此類推,等級最高的是N號,若N ≤ 200,則N號海盜的分配法為:自己 個金幣,其餘海盜中,編號和N的奇偶性相同者每人各1枚金幣,奇偶性不同的,什麼也得不到。

201號海盜必須要有101票才能通過,他沒有辦法,只能自己不拿金幣,而給1~199號中奇數號的海盜每人各1枚金幣,這樣他以及1~199號中的奇數號會投贊成票,這樣就剛好101票,提案即可通過。

202號與201號類似,自己不拿金幣,而給2~200號中的偶數號每人各1枚。

到了203號,情況第一次有了一百八十度的大轉彎,因為他需要102票,但是他沒有足夠的金幣去收買101人,無法通過。

204號則較幸運,因為203號知道他唯有支持204號才能保命,所以204號可以給1~199號中奇數號的海盜每人各1枚金幣,因為他知道,203號雖然一無所獲但還是會投贊成票,再加上自己一票以及1~199號中奇數號的100票,就達成了102票的條件,所以他的提案就可以通過。

205號就沒那麼走運了,他不能指望203號與204號支持他,所以沒法通過。

206號也是一樣,因為他需要103票才能通過,所以就算205號會支持他,還是差1票。

207號則需要104票,但是他最多也只能得到103票(他自己、205號和206號、以及1~200號中的100人),所以也不能通過。

208號則又時來運轉,他可以給2~200號中的偶數號每人各1枚,這樣他們會同意他,同時他自己跟205, 206, 207號也會投贊成票,剛好104票可通過。

此時,我們繼續分析,可以得到一個新的序列:201, 202, 204, 208, 216, 232, 264, 328, 456, 712, 1224, ... ,這些編號的海盜能夠存活,他們依次要分給1~200中的奇數、偶數、奇數、偶數、奇數、偶數、 ...號每人各1枚金幣。所以當有1500位海盜時,前276名等級最高的海盜必死無疑。輪到1224號海盜時,他可以只分給1~199號中奇數號的海盜每人各1枚金幣,而其餘的海盜什麼也得不到。

結論

一般地,對於任意給定的金幣 G, 海盜數目 N。上文中等級不高於 (2 * G) 的海盜都有存活機會;但對於等級高於 (2 * G) 的海盜,只有編號 (N - 2 * G) 為 2 的整數次冪的那些海盜有存活機會,其餘海盜必死無疑。第 N 號海盜只需給編號在 (2*G) 以內跟他/她相同奇偶性的海盜分配 1 枚金幣即可,其餘金幣都歸他/她自己,但編號大於 (2*G) 的海盜分不到金幣。利用計算機編程很容易驗證這一結論。

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Stewart, Ian, A Puzzle for Pirates (PDF), Scientific American, 1999-05: 98–99 [2013-08-14], (原始內容存檔 (PDF)於2016-10-19)