牛頓-皮普斯問題

牛頓-皮普斯問題是一個擲骰子的概率問題。塞繆爾·皮普斯1693年向艾薩克·牛頓諮詢怎樣在賭局中下注贏面更大,在信中他問道:下列三種情形哪一種概率最高:

  • A.6個正常的骰子獨立投擲,至少出現1個6.
  • B.12個正常的骰子獨立投擲,至少出現2個6.
  • C.18個正常的骰子獨立投擲,至少出現3個6.[1]

概率解

利用二項分布,三個投擲實驗的概率分別為:[2]

 
 
 

該類問題的通項公式,一般的,若P(N)是投擲6n個骰子得到至少n個6的概率,則:

 

n變大時,P(N)會逐漸趨近於極限值1/2.

編程計算法

R語言中,該問題可以用如下方法解:

p <- as.numeric(1/6)
s <- c(1, 2, 3)
for (i in s)
{
   x <- 0
   n <- 6*i
   for(j in 0:(i-1)) {x <- x + dbinom(j, n, p) }
   print(paste("Probability of at least ", i, " six in ", n, " fair dice: ", 1-x, sep=""))
}

結果會顯示為:

[1] "Probability of at least 1 six in 6 fair dice: 0.665102023319616"
[1] "Probability of at least 2 six in 12 fair dice: 0.618667373732309"
[1] "Probability of at least 3 six in 18 fair dice: 0.597345685947723"

牛頓的解釋

牛頓設想將B和C的骰子每六粒分為一組,A只可分為一組;B和C分別可分成兩組和三組,每組需要在其中一次投擲中出現6。如此可見,A的機率是最大的,因為A只需要在其中一次投擲中出現6,而B和C則分別需要重複A的過程兩次和三次。

參考文獻

  1. ^ Isaac Newton as a Probabilist 網際網路檔案館存檔,存檔日期2007-09-18., Stephen Stigler, University of Chicago
  2. ^ Weisstein, Eric W. (編). Newton-Pepys Problem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語).