積分變換

積分變換(integral transform)是數學中作用於函數的算子,用以處理微分方程等問題。常見的有傅里葉變換拉普拉斯變換等。

概述

以一變數 函數   為例,  經過一積分轉換   得到  

 

其中   是個確定的二元函數, 稱為此積分變換的核函數(kernel function)或(nucleus)。當選取不同的積分域和變換核時,就得到不同名稱的積分變換。  稱為象原函數,  稱為   的象函數,在一定條件下,它們是一一對應而變換是可逆的。

有些積分變換有相對應的反積分變換(inverse transform),使得

 

  稱為反核(inverse kernel)。

積分變換表

積分變換 符號 核K f(t) t1 t2 反核K−1 u1 u2
阿貝爾積分變換英語Abel transform F, f   u     [1] t  
相關 Legendre 變換(Associated Legendre transform)            
傅立葉變換                
傅立葉正弦變換     on  , real-valued          
傅立葉餘弦變換     on  , real-valued 0     0  
漢克爾變換   0     0  
Hartley變換英語Hartley transform              
Hermite變換英語Hermite_transform            
希爾伯特變換              
Jacobi變換英語Jacobi_transform            
Laguerre變換英語Laguerre_transform            
拉普拉斯變換   e−ut 0        
Legendre變換英語Legendre_transform_(integral_transform)            
梅林變換   tu−1 0    [2]    
雙邊拉普拉斯變換   e−ut          
泊松核英語Poisson kernel   0
拉東變換    
魏爾斯特拉斯變換英語Weierstrass transform              
X-ray變換英語X-ray_transform    
狄拉克δ函數            

在反積分轉換中, 常數c 由積分函數決定。

參見

  1. ^ Assuming the Abel transform is not discontinuous at  .
  2. ^ Some conditions apply, see Mellin inversion theorem for details.