等變映射
在數學中,一個等變映射(equivariant map)是兩個集合之間與群作用交換的一個函數。具體地,設 G 是一個群,X 與 Y 是兩個關聯的 G-集合。一個函數 f : X → Y 稱為等變,如果
- f(g·x) = g·f(x)
對所有 g ∈ G 與 x ∈ X 成立。注意如果其中一個或兩個作用是右作用,則等變條件必須適當地修改:
- f(x·g) = f(x)·g ; (右-右)
- f(x·g) = g−1·f(x) ; (右-左)
- f(g·x) = f(x)·g−1 ; (左-右)
等變映射是 G-集合範疇(對一個取定的 G)中的同態。從而它們也稱為 G-映射或 G-同態。G-集合的同構就是等變雙射。
等變條件也能理解為下面的交換圖表。注意 表示映射取元素 得到 。
交結映射
對 G 的線性表示,由一個完全類似的定義。具體地說,如果 X 與 Y 是 G 的兩個線性表示的表示空間,則一個線性映射 f : X → Y 稱為這個表示的一個交結映射(intertinig map 或 intertwiner)如果它與 G 的作用交換。從而一個交結算子是兩個線性表示/作用時等變映射的特例。
或者,G 在域 K 上表示的交結映射與 K[G]-模的一個模同態是同一個東西,這裡 K[G]是 G 的群環。
在某些情形,如果 X 與 Y 都是不可約表示,則一個交結映射(若不是零映射)只有兩個表示等價(即作為模是同構的)時才存在。這樣的交結映射除了差一個乘法因子(K 中一個非零純量)是惟一的。這些性質當 K[G] 的像是具有中心 K d的單代數時成立(由所謂的舒爾引理:參見單模)。作為一個推論,在一些重要情形構造一個交結映射足夠證明表示同樣是有效的。
範疇描述
等變映射可以直截了當地推廣到任意範疇。任何群 G 可以視為一個具有一個對象的範疇(這個範疇中的態射就是 G 的元素)。給定任意範疇 C,在這個範疇 C 中 G 的一個表示是從 G 到 C 的一個函子。這樣一個函子選出 C 的一個對象和這個對象的自同構的一個子群。例如,一個 G-幾何等價於從 G 到集合範疇 Set 的一個函子,而線性表示等價於到一個域 K 上的向量空間範疇 VectK 的一個函子。
給定 G 在 C 中兩個表示, ρ 和 σ,這兩個表示之間一個等變映射不過是從 ρ 到 σ 的一個自然變換。把自然變換做為態射,我們可以構造 G 在 C 中所有表示的範疇。這恰是函子範疇 CG。
另一個例子,取 C = Top 拓撲空間範疇。G 在 Top 中一個表示是一個拓撲空間,G 連續作用它上面。則等變映射是表示之間的一個連續映射 f : X → Y,且與 G 的作用交換。