算術幾何

代数几何在数论的应用

在數學中,算術幾何(arithmetic geometry)大致是從代數幾何數論問題的技術的應用[1]。算術幾何圍繞著丟番圖幾何英語Diophantine geometry,這是代數簇有理點英語Rational point的研究[2][3]

用更抽象的術語來說,算術幾何可以定義為對整數環內的有限概形(scheme)方案的研究[4]

概述

算術幾何主要的研究對象是有理點:即多項式方程組在代數數域有限域P進數、或函數域上的解集。(研究對象是非代數閉域,所以不包括本來即為代數閉域實數域。) 有理點的特徵可以用衡量其算術複雜性的高度函數(height function)來表示。[5]

隨著代數幾何的現代抽象發展,當前的主要的研究方向是在非代數閉域上定義的代數簇的結構。在有限域上,平展上同調(Étale cohomology)提供了與代數簇相關的拓撲不變量[6]霍奇理論提供了工具來檢查複數上的上同調性質如何擴展到P進數[7]

歷史

算術幾何原指從法爾廷斯(Faltings,G.)、奎倫(Quillen,D.G.)等的算術曲面上黎曼-羅赫定理開始的一系列研究工作,現在一般指所有以數論為背景或目的的代數幾何。在算術幾何中許多學科起著重要作用,並且相互交叉和滲透,包括數論、模形式、表示論、代數幾何、代數數論、李群、多複變函數論、黎曼面、K理論等,所以,它是典型的邊緣學科。丟番圖方程是算術幾何的一個重要課題,其中的問題可以自然地用幾何語言表達。在許多著名問題如莫德爾猜想、費馬大定理等的研究中,都表明幾何方法的必要性。這正是算術幾何的生命力所在。

 
根據莫德爾猜想(法爾廷斯定理)形如 的超橢圓曲線的有理點解是有限的, 

參閱

參考資料

  1. ^ Sutherland, Andrew V. Introduction to Arithmetic Geometry (PDF). September 5, 2013 [22 March 2019]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-01-08). 
  2. ^ Klarreich, Erica. Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry. June 28, 2016 [March 22, 2019]. (原始內容存檔於2021-01-25). 
  3. ^ Poonen, Bjorn. Introduction to Arithmetic Geometry (PDF). 2009 [March 22, 2019]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-05-07). 
  4. ^ nLabArithmetic geometry條目
  5. ^ Lang, Serge. Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. 1997: 43–67. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051. 
  6. ^ 引用錯誤:沒有為名為grothendieck-cohomology的參考文獻提供內容
  7. ^ Serre, Jean-Pierre. Résumé des cours, 1965–66. Annuaire du Collège de France (Paris). 1967: 49–58.