貝克隆德變換是兩個非線性偏微分方程之間的一對變換關係[1]。
兩個非線性偏微分方程
之間的貝克隆德變換,指的是這樣一對關係
貝克隆德變換是求非線性偏微分方程精確解的一種重要的變換。
1876年瑞典數學家貝克隆德發現正弦-戈爾登方程的不同解u、v
之間有如下關係:[2]
這就是正弦-戈爾登方程的貝克隆德自變換。
將貝克隆德自變換第一式對t取微商,二式對x微商:
消除v即得;
消除u項即得
貝克隆德變換常用於求正弦-戈爾登方程、高維廣義Burger I型方程、高維廣義Burger II型方程的精確解:[3]
解正弦-戈爾登方程
利用正弦-戈爾登方程的自貝克隆德變換解正弦-戈爾登方程:
由貝克隆德自變換 令v=0,得
,顯然
,兩邊對x積分,得:
對貝克隆德自變換第二式作同樣運算得:
經過三角函數運算,二式簡化為
二式相加得:
,
分離u得正弦-戈爾登方程的一個解析解:
又從
直接接求u得另外兩個解析解:
另見
參考文獻
- ^ Inna Shignareve and Carlos Lizarraga-Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Methematica, p46, Springer
- ^ 閻振亞著《複雜非線性波的構造性理論及其應用》6頁科學出版社2007年
- ^ 閻振亞著《複雜非線性波的構造性理論及其應用》106-111頁科學出版社2007年