適應過程

適應過程是隨機過程研究中常見的概念，表示不能「預見未來」的隨機過程。非正式的數學解釋是，一個隨機過程是適應於某個參考族的，若且唯若在任意的特定時刻，隨機過程都是可測的。適應過程是隨機過程理論中很多重要概念的基礎。比如說能夠定義伊藤積分的隨機過程就需要是適應過程。

定義

設有

• 機率空間$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$；
• 測度空間$(S,{\mathcal {A}})$，狀態空間；
• 有序的指標集$T$： 可以是非負實數集$[0,\infty )$、有限時間集$[0,T_{0}]$或離散時間$\mathbb {N}$；
• σ-代數${\mathcal {F}}$上的參考族$\mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}$；
• 隨機過程$X:T\times \Omega \to \mathbb {X} =\left(X_{t}\right)_{t\in T}$。

則隨機過程$\left(X_{t}\right)_{t\in T}$是適應過程（適應於$\mathbb {F}$的隨機過程）若且唯若對任意的時刻$t\in T$，映射：$X_{t}:\Omega \to S$都是$({\mathcal {F}}_{t},{\mathcal {A}})$-可測的隨機變數。

適應過程的定義說明，如果一個過程適應於某個參考族$\mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}$，那麼在任意一個特定的時刻，我們掌握的資訊都包括了這個過程。也就是說這個過程在任意時刻的結果必然在該時刻可知。但一般來說，適應過程在任意時刻的結果並不能提前預知。如果一個（離散的）隨機過程在時刻$t=n$的結果能夠在$t=n-1$的時刻已知，那麼這個過程被稱為在參考族$\mathbb {F}$中可預測。可預測的隨機過程必然適應於參考族，反之則不然。

例子

設狀態空間$(S,{\mathcal {A}})$為實數及其波萊爾σ-代數$(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$。設指標集為連續的：$T=[0,\infty ).$ 給定一個隨機過程$X=\left(X_{t}\right)_{t\in T}$，如果考慮過程$X$產生的自然參考族：${\tilde {\mathcal {F}}}^{X}=\{{\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}|t\in T\}$

${\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}=\sigma \left(X_{s}\,;\,\,0\leqslant s\leqslant t\right)=\sigma \left(\left\{X_{s}^{(-1)}(H)\,|\,0\leqslant s\leqslant t,\,\,H\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\right\}\right)$

那麼$X$當然是適應於${\tilde {\mathcal {F}}}^{X}$的過程，因為在每個時刻，$X$都是${\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}$-可測的隨機變數。自然參考族也是能使得$X$為適應變量的「最小」參考族。$X$適應於某個參考族${\mathcal {F}}^{r}=\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}$，若且唯若在任何時刻$t\in T$，${\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}.$

設$X=\left(X_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$是某彩票每期的開獎結果，那麼$X$是一個適應隨機過程，但不可能是一個可預測過程。