魏爾施特拉斯分解定理

在復雜分析中,定理可以根據零點對整個函數進行分解

魏爾施特拉斯分解定理(英語:Weierstrass factorization theorem)是指任意整函數可以分解為如下無窮乘積的形式:

其中是另一整函數,是上述無窮乘積收斂的最小整數,稱為虧格是魏爾施特拉斯的基本因子。這種無窮乘積稱為典範乘積。求解的方法一般是兩邊同時取對數再求導數,這樣右邊就可以化為無窮級數形式,通過對比無窮級數理論中的相關結果得出的形式。

基本因子

英文為primary factors或是elementary factors。也有譯為「主要因子」的版本。[1]

對於任意的 基本因子 的定義如下:[2]

 

其中,級數 

對於級數 ,有如下性質。以下性質在後續引理的證明中會用到(主要是3.、4.與5.)。

  1.  的情況下, 可被展開 。接著兩邊同時積分,可得 。所以 的極限可以表示為 
  2. 因為 ,所以 
  3. 如果將  之間的差額定義為新的級數 
  4. 利用2.與3.改寫 的定義式: 。改寫後的基本因子定義式 將會在後續引理的證明中用到。
  5. 將3.的關係寫成級數形式: 

利用以上性質,可以證明下面的重要引理。該引理在後續證明魏爾施特拉斯分解定理時有關鍵性作用。[2]


引理 (15.8, Rudin): 對於 

 成立。

證明:

 時, 顯而易見。所以只討論 的情況。

i) 將引理左邊的部分(不帶絕對值)定義為一個新函數 。後續稱此式為式 

運用性質4.與5.改寫式 

 

將指數部分展開後可得(為了簡潔,係數用字母 表示): 

整理後可得, 可以用一個新的級數來表示: 。將係數統一用 (如 )來標註的話, 

將該結果微分,可得:

 

ii) 將式 直接微分,可得

 

將指數部分展開可得。

 

結論1:比較i)ii)的結果。比較 項可知, 。同樣的方法比較後續項可知, 皆為正的實數

iii) 基於 新設一個級數 。因為極點是一個可消極點,所以這也是一個整函數。計算 

所以在給定的條件 下,運用絕對值不等式的基本性質和結論1:

 

即, 成立。引理(15.8)證明完畢。

相關條目

延伸閱讀

  • Alford的《複分析》

參考資料

  1. ^ Boas, R. P., Entire Functions, New York: Academic Press Inc., 1954, ISBN 0-8218-4505-5, OCLC 6487790 , chapter 2.
  2. ^ 2.0 2.1 Rudin, W., Real and Complex Analysis 3rd, Boston: McGraw Hill: 301–304, 1987, ISBN 0-07-054234-1, OCLC 13093736 .