GPY篩法

GPY篩法（Goldston-Pintz-Yıldırım sieve）是一種篩法，這種篩法是塞爾伯格篩法的一種帶有一般、多維篩選權重的變體。這種篩法已為解析數論的研究帶來多項突破。

這種篩法以Goldston、Pintz和Yildirim這三位數學家為名。他們在2005年時以此篩法證明說根據質數定理，可推出存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔。

張益唐後來修改此篩法，以證明說兩個相隔質數間出現無限多次的最小間隔的有限界限為何。之後詹姆斯·梅納德（他把上述的界限降到$600$）及陶哲軒都曾修改此篩法。

GPY篩法

表記

首先固定$k\in \mathbb {N}$，之後定義以下表記：

• $\mathbb {P}$是質數集合，且$1_{\mathbb {P} }(n)$是這集合的特徵方程。
• $\Lambda (n)$是馮·曼戈爾特函數。
• $\omega (n)$是用以計算$n$的不同質因數個數的小寫俄梅戛函數。
• ${\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}$是一組相異的非負整數$h_{i}\in \mathbb {Z} _{+}\cup \{0\}$的集合。
• $\theta (n)$是另一個關於質數的特徵函數，其定義如下：

$\theta (n)={\begin{cases}\log(n)&{\text{if }}n\in \mathbb {P} \\0&{\text{else.}}\end{cases}}$

其中$\theta (n)=\log((n-1)1_{\mathbb {P} }(n)+1)$。

對於${\mathcal {H}}$有以下定義：

• ${\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1},\dots ,n+h_{k})$，
• $P_{\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1})(n+h_{2})\cdots (n+h_{k})$
• $\nu _{p}({\mathcal {H}})$是${\mathcal {H}}$模$p$的相異同餘類個數。像例如因為$\{0,2,4\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,1,2\}$且$\{0,2\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,2\}$之故，因此有$\nu _{3}(\{0,2,4\})=3$以及$\nu _{3}(\{0,2\})=2$。

假若對所有的$p\in \mathbb {P}$而言，都有$\nu _{p}({\mathcal {H}})<k$的話，則稱${\mathcal {H}}$為「可及的」（admissible）。

構造

設${\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}$為「可及的」，並考慮以下篩函數（sifting function）：

${\mathcal {S}}(N,c;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}1_{\mathbb {P} }(n+h_{i})-c\right)w(n)^{2},\quad w(n)\in \mathbb {R} ,\quad c>0.$

那麼對任意的$n\in [N+1,2N]$而言，這函數即是計算扣掉某個門檻$c$之後，形如$n+h_{i}$的質數的個數的函數，故在${\mathcal {S}}>0$的情況下，有某數$n$使得至少$\lfloor c\rfloor +1$是${\mathcal {H}}(n)$中的質數。

由於$1_{\mathbb {P} }(n)$的解析性質沒那麼好之故，因此可改用下列的篩函數：

${\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)w(n)^{2}.$

由於$\log(N)<\theta (n+h_{i})<\log(2N)$且$c=\log(3n)$之故，我們僅在存在$n+h_{i}$及$n+h_{j}$這兩個質數的狀況下，有${\mathcal {S}}>0$。我們接下來要做的，就是尋找權重函數$w(n)$以便能測得質數k元組。

權重的派生

一個權重函數的可能候選，是一般化的馮·曼戈爾特函數：

$\Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\left(\log \left({\frac {n}{d}}\right)\right)^{k},$

這函數有如次的性質：若$\omega (n)>k$，則$\Lambda _{k}(n)=0$。雖說這函數也會測得形式為質數冪的因子，但在應用中，這些因子可在僅造成可忽略誤差的狀況下移除。

因此在${\mathcal {H}}(n)$是質數k元組的狀況下，以下方程不會消失：

$\Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\Lambda _{k}(P_{\mathcal {H}}(n))$

其中$1/k!$這因子僅僅是因方便計算而選取。

（古典）馮·曼戈爾特函數可以截形馮·曼戈爾特函數來估計：

$\Lambda (n)\approx \Lambda _{R}(n):=\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid n\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\log \left({\frac {R}{d}}\right),$

其中$R$不再表示${\mathcal {H}}$的長度，但用以決定截取點。類似地我們可以下式估計$\Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})$：

$\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k}$

因為技術理由，我們會希望估計在多個部分中帶有質數的數組，而非再引入另一個參數$0\leq \ell \leq k$的狀況下僅僅估計質數組，因此我們可選取$k+\ell$或較不相異的質因數。而這引出了下列的最終形式：

$\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell }$

在不引入$\ell$這額外參數的狀況下，對不同的$d=d_{1}d_{2}\cdots d_{k}$有$d_{1}\leq R,d_{2}\leq R,\dots ,d_{k}\leq R$這樣的限制；但藉由引入此參數，我們可得到更寬鬆的限制$d_{1}d_{2}\dots d_{k}\leq R$。

故對於$k$維的篩法問題，我們有$k+\ell$維的篩法。

GPY篩法

GPY篩法有下列形式：

${\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}},\ell ):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )^{2},\qquad |{\mathcal {H}}|=k$

其中

$\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell },\quad 0\leq \ell \leq k$.

Goldston、Pintz及Yıldırım三氏對主定理的證明

在考慮$({\mathcal {H}}_{1},\ell _{1},k_{1})$、$({\mathcal {H}}_{2},\ell _{2},k_{2})$以及$1\leq h_{0}\leq R$並定義$M:=k_{1}+k_{2}+\ell _{1}+\ell _{2}$的情況下，Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他們的論文中，以兩個定理證明了在合適的條件下，以下兩個非病態的形式成立。這兩個形式分別為

$\sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})=C_{1}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})+o_{M}(1)\right)N$

以及

$\sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})\theta (n+h_{0})=C_{2}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})+o_{M}(1)\right)N$

其中$C_{1},C_{2}$是兩個常數，${\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})$及${\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})$是兩個奇異級數（singular series），其描述在此省略。

最後我們可將此結果套用在${\mathcal {S}}$之上，以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏「存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔」的結果。