Meijer G-函數
Meijer G-函數是荷蘭數學家梅耶爾引入的一種特殊函數。它是廣義超幾何函數的推廣,絕大多數的特殊函數都可以用 Meijer G-函數表示出來。
定義
廣義超幾何函數有下列一般的積分表達式(參見相關小節):
其中積分路徑 C 視參數 p, q 的相對大小而定。上面的積分表達式具有 Mellin 逆變換的形式。
Meijer-G 函數是上面積分表達式的一個推廣,它的定義為:
其中積分路徑 C 視參數的相對大小而定[注 1]。但是,為了保證至少一條積分路徑有定義,要求
在書寫 Meijer-G 函數時要注意,上標中的第一個參數和下標中的第二個參數對應的是 bk,而上標中的第二個參數和下標中的第一個參數對應的是 ak。
對比上述兩式可以得到廣義超幾何函數和 Meijer-G 函數的關係:
基本性質
和廣義超幾何函數一樣,如果上下兩個向量組在合適的位置有相同的元素,則 Meijer-G 函數可以降階,此處不再贅述。
一般關係式
Meijer-G 函數的導函數具有下列性質:
注意 h 可以取任意整數值,取負數時表示不定積分。
另一方面,
上面的式子都可以直接由定義得到。
向量組中兩個元素相差整數時的關係式
由
又有
微分方程
由上面一般關係式一節的討論知 Meijer-G 函數滿足下列微分方程,它與廣義超幾何函數滿足的微分方程形式上很類似。
- .
這是一個 max(p,q) 階的線性微分方程,在 z=0 附近的基本解組可以選取為
當 p=q 時兩種取法都可以。
從 m, n 的取值上就可以看到它們跟廣義超幾何函數有直接的聯繫。事實上的確如此,以第一種情況為例,
等號右邊的 Meijer-G 函數顯然就是廣義超幾何函數。
特殊情形
因為廣義超幾何函數是 Meijer-G 函數的特殊情形,故所有可以用廣義超幾何函數表示的特殊函數都可以用 Meijer-G 函數表示,但是,在個別情況下,用 Meijer-G 函數有更簡單的表示式,例子如諾依曼函數,它可以用超幾何函數0F1表示,但表示式僅僅是將(第一類)貝索函數的超幾何函數表示式代入其定義式中,因此含有兩個超幾何函數。而用 Meijer-G 函數就可以直接表示為:
另外一個例子是不完全伽瑪函數對參變量的偏導數,它無法用廣義超幾何函數表出,但可以用 Meijer-G 函數表出:
事實上,不完全伽瑪函數對參變量的高階偏導數也可以用 Meijer-G 函數表出,詳見不完全Γ函數一文。
推廣
如同廣義超幾何函數和Kampé de Fériet函數(雙變量的廣義超幾何函數)的關係那樣,Meijer G-函數也可以被推廣到兩個變量的情況:
注
參考文獻
- Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde, Generalized Hypergeometric Functions and Meijer G-Function, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
- Beals, Richard; Szmigielski, Jacek. Meijer G-Functions: A Gentle Introduction, (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 2013, 60 (7) [2014-09-06]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-01-26).
- Luke, Yudell L. The Special Functions and Their Approximations, Vol. I. New York: Academic Press. 1969. ISBN 0-12-459901-X. (see Chapter V, "The Generalized Hypergeometric Function and the G-Function", p. 136)
- The Wolfram Functions Site. [2014-09-06]. (原始內容存檔於2007-10-10).