Mitchell–Netravali濾波器

Mitchell–Netravali濾波器或BC–樣條是一組主要用於計算機圖形學的重建濾波器，例如，可被用於抗鋸齒或縮放光柵圖形。它們在圖像編輯程序中也被稱為雙三次濾波器，因為它們是二維三次樣條。

定義

Mitchell–Netravali濾波器的圖，帶有參數B = C = 1/3 。

Mitchell–Netravali濾波器是作為對重建濾波器失真（artifacts）調查的一部分而被設計的。濾波器是具有四像素寬支撐的分段三次濾波器。從這個系列中排除不合適的濾波器後，例如不連續的曲線，仍然存在兩個參數B和C ，通過它們可以配置Mitchell–Netravali濾波器。濾波器定義如下：

$k(x)={\frac {1}{6}}{\begin{cases}{\begin{array}{l}(12-9B-6C)|x|^{3}+(-18+12B+6C)|x|^{2}\\\qquad +(6-2B)\end{array}}&{\text{, if }}|x|<1\\{\begin{array}{l}(-B-6C)|x|^{3}+(6B+30C)|x|^{2}\\\qquad +(-12B-48C)|x|+(8B+24C)\end{array}}&{\text{, if }}1\leq |x|<2\\0&{\text{其他情况}}\end{cases}}$

通過分離構造 Mitchell–Netravali濾波器的二維版本有可能的。在這種情況下，濾波器可以被一維濾波器的一系列插值代替。從四個相鄰像素的顏色值$P_{0}$, $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$然後計算顏色值$P(d)$如下：

${\begin{aligned}P(d)&\textstyle =\left((-{\frac {1}{6}}B-C)P_{0}+(-{\frac {3}{2}}B-C+2)P_{1}+({\frac {3}{2}}B+C-2)P_{2}+({\frac {1}{6}}B+C)P_{3}\right)d^{3}\\&\textstyle +\left(({\frac {1}{2}}B+2C)P_{0}+(2B+C-3)P_{1}+(-{\frac {5}{2}}B-2C+3)P_{2}-CP_{3}\right)d^{2}\\&\textstyle +\left((-{\frac {1}{2}}B-C)P_{0}+({\frac {1}{2}}B+C)P_{2}\right)d\\&\textstyle +{\frac {1}{6}}BP_{0}+(-{\frac {1}{3}}B+1)P_{1}+{\frac {1}{6}}BP_{2}\\\end{aligned}}$

$P$介於$P_{1}$和$P_{2}$ ; $d$是$P_{1}$和$P$之間的距離。

主觀效果

如下圖所示，參數B和C的某些選擇可能會導致各種失真。研究人員推薦參數數值來自$B+2C=1$ （虛線）家族和尤其是$\textstyle B=C={\frac {1}{3}}$作為一個令人滿意的妥協。

使用各種 Mitchell-Netravali 濾波器重建圖像的主觀外觀。

實現

以下參數導致常見圖像編輯程序中使用的眾所周知的三次樣條

B	C	三次樣條	常見的實現
0	Any	Cardinal splines
0	0.5	Catmull-Rom spline	GIMP中的雙三次濾波器
0	0.75	Unnamed	Adobe Photoshop中的雙三次濾鏡
1/3	1/3	Mitchell–Netravali	ImageMagick中的 Mitchell濾波器
1	0	B樣條	Paint.NET中的雙三次濾波器

例子

• 
  在GIMP(Catmull-Rom) 中使用雙三次濾波器進行放大
• 
  在Paint.NET（B樣條）中使用雙三次濾波器進行放大

參閱

• 振鈴效應
• 各向異性過濾