八元数

八元數
八元數
符號
種類	超複代數
單位	形式：; 、、、、、、、 ; 形式：; 1、 i、 j、 k、 l、 il、 jl、 kl
乘法單位元	或1
主要性質	非交換; 非结合
數字系統
	自然數; 整數; 有理數; 實數; 複數; 四元數; 八元数; 十六元數; 三十二元數;
	查; 论; 编;

八元数（英語：Octonion）是以實數構建的8維度賦範可除代數，為四元数非结合推广的超複數，通常记为O或 $\mathbb {O}$ 。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律，但具備交错代数的特性，並保有冪結合性。

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二进分数
 規矩數
 無理數
 超越數
 虚数 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元數 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英语：Dual quaternion）
超复数
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 進數
 数学常数

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

也许是因为八元数的乘法不具備结合性，因此它们作為超複數而言受關注的程度較四元数低。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和量子逻辑（英语：Quantum logic）中也有应用。

歷史

八元數第一次被描述於1843年，於一封约翰·格雷夫斯（英语：John T. Graves）給威廉·盧雲·哈密頓的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。^[1]^:168後來八元數由阿瑟·凯莱在1845年獨自發表。^[2]格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟·凯莱發表的時間稍晚一些^[3]。阿瑟·凯莱發表的八元數和约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟·凯莱是獨自發現八元數的，^[2]因此八元數又被稱為凯莱數或凯莱代數。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。^[4]

定义

八元数可以视为实数的八元组。八元数有多種構造方式。以凯莱-迪克森结构為例，八元数可以表達為2個四元數 $P$ 與 $Q$ 的組合，即 $P + Q l$ 或 $p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,$ ，其中，量 $l$ 為其中一個八元数單位並滿足：^[5]

i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,

在這種定義下每一个八元数都是单位八元数 ${1, i, j, k, l, il, jl, kl}$ 的线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成^[6]

x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl

其中系数 $x a$ 是实数。這些八元数單位亦滿足：^[5]

i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,

八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。^[6]

$\times$	$1$	$i$	$j$	$k$	$l$	$il$	$jl$	$kl$
$1$	$1$	$i$	$j$	$k$	$l$	$il$	$jl$	$kl$
$i$	$i$	$-1$	$k$	$-j$	$il$	$-l$	$-kl$	$jl$
$j$	$j$	$-k$	$-1$	$i$	$jl$	$kl$	$-l$	$-il$
$k$	$k$	$j$	$-i$	$-1$	$kl$	$-jl$	$il$	$-l$
$l$	$l$	$-il$	$-jl$	$-kl$	$-1$	$i$	$j$	$k$
$il$	$il$	$l$	$-kl$	$jl$	$-i$	$-1$	$-k$	$j$
$jl$	$jl$	$kl$	$l$	$-il$	$-j$	$k$	$-1$	$-i$
$kl$	$kl$	$-jl$	$il$	$l$	$-k$	$-j$	$i$	$-1$

一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為 $e a$ 的線性組合，其中 $a =0, 1,..., 7$ ：^[7]

\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},

當中的 $e_{0}$ 為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等，而其平方為實數。也就是說，每個八元數 $x$ 都可以寫成以下形式^[8]：

x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,

^[9]^:5

其中 $x i$ 為單位元素 $e i$ 的係數，且必為實數。八元數的加法和減法是通過加減相應的項以及它們的係數來完成的，與四元數的加減法類似。乘法則較為複雜。八元數的乘法是對加法的分配，所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算，再次如同四元數一般。每對項的乘積可以通過係數的乘積和單位八元數的乘法表給出^[7]，其乘法表的結構與 ${1, i, j, k, l, il, jl, kl}$ 的模式（ $p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,$ ）類似。這個乘法表先後由Graves於1843年和Cayley於1845年描述：^[10]

$e_{i}e_{j}$ ^[11]		$e_{j}$
$e_{i}e_{j}$ ^[11]		$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$
$e_{i}$	$e_{0}$	$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$
	$e_{1}$	$e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{5}$	$-e_{4}$	$-e_{7}$	$e_{6}$
	$e_{2}$	$e_{2}$	$-e_{3}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$-e_{4}$	$-e_{5}$
	$e_{3}$	$e_{3}$	$e_{2}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{5}$	$-e_{4}$
	$e_{4}$	$e_{4}$	$-e_{5}$	$-e_{6}$	$-e_{7}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$
	$e_{5}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$-e_{7}$	$e_{6}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$-e_{3}$	$e_{2}$
	$e_{6}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$e_{4}$	$-e_{5}$	$-e_{2}$	$e_{3}$	$-e_{0}$	$-e_{1}$
	$e_{7}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$-e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{1}$	$-e_{0}$

除了主對角線上以及 $e_{0}$ 作為操作數的行和列的元素之外，乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的，這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。

該表可總結如下：^[12]

e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}

其中 $δ ij$ 為克罗内克δ函数（當且僅當 $i = j$ 時為1）、 $ε ijk$ 為完全反對稱張量（英语：completely antisymmetric tensor），且當 $ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365$ 時，值為1。^[9]

然而，上述定義並不是唯一的。這些定義只是 $e_{0}=1$ 八元數乘法的480個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素 $\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},$ 的符號來獲得。^[13]這480個不同乘法定義對應的代數結構是同構的，很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。

這480個八元數乘法定義中，每一定義的正負號在7循環（1234567）下的特定點上都是不變的，並且對於每個7循環有四個定義，它們的區別在於正負號和順序的反轉。一個常見的選擇是使用 $e 1 e 2 = e 4$ 的7循環（1234567）下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的法诺平面，該平面還顯示了基於124的7循環三元組及其相關乘法的排序列表 $e n$ 和 $ijkl$ 格式的矩陣。^[14]

此外，亦有一些文獻會將八元數的單位定義為 $1,i,j,k,L,m,n,o$ 。^[15]

凯莱-迪克松构造

一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数 $(a,b)$ 和 $(c,d)$ 的乘积定义为：^[8]^:153

(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})

其中 $z^{*}$ 表示四元数 $z$ 的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。^[16]

法诺平面记忆

八元数的乘积的简单记忆。

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也視為一条直线），称为法诺平面（英语：Fano plane）。^[17]这些直线是有向的。七个点对应于 $\mathbb {O}$ 的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。^[18]

设 $(a, b, c)$ 为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出：^[18]

ab = c ， ba = - c

以及它们的循环置换（英语：Cyclic permutation）。这些规则^[18]

1是乘法单位元，
对于图中的每一个点，都有 $e^{2}=-1$

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了 $\mathbb {O}$ 的一个子代数，与四元数 $\mathbb {H}$ 同构。^[8]^:151-152

共轭、範数和逆元素

八元数

x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl

的共轭为：

x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.

當中除了實數項外，其餘項正負號皆相反。因此若將八元數單位表達為 ${e 1, e 2 ... e 7}$ ，則八元数的共轭可以簡化表示為：^[9]^:6

x^{*}={\overline {x}}=x_{0}e_{0}-x_{i}e_{i},\ i=1,2\cdots 7

共轭是 $\mathbb {O}$ 的一个对合，满足 $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$ （注意次序的变化）。^[16]

x的实数部分定义为 $\mathrm {Re} \left(x\right)={\tfrac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}$ ，虚数部分定义为 $\mathrm {Im} \left(x\right)={\tfrac {x-x^{*}}{2}}$ 。^[16]所有纯虚的八元数生成了 $\mathbb {O}$ 的一个七维子空间，记为 $\mathbb {O}$ 。^[8]^:186

八元数x的範数可用與自身共軛的積 $\|x\|^{2}=x^{*}x$ 來定義^[16]：

\|x\|={\sqrt {x^{*}x}}

在这里，平方根是定义良好的，因为 $x^{*}x=xx^{*}$ 总是非负实数：^{[註 1]}

\|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}

这个範数与 $\mathbb {R} ^{8}$ 上的标准欧几里得範数是一致的。

$\mathbb {O}$ 上範数的存在，意味着 $\mathbb {O}$ 的所有非零元素都存在逆元素。 $x \neq 0$ 的逆元素为：^[16]^[9]^:6

x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}

它满足 $xx^{-1}=x^{-1}x=1$ 。

性质

八元数的乘法既不是交换的：^[9]^:6

ij=-ji\neq ji\,

也不是结合的：^[5]^:41

(ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,

然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性^[9]^:2。这就是说，由任何两个元素所生成的子代数（英语：Subalgebra）是结合的。^[9]^:3实际上，我们可以证明，由 $\mathbb {O}$ 的任何两个元素所生成的子代数都与 $\mathbb {R}$ 、 $\mathbb {C}$ 或 $\mathbb {H}$ 同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与四元数不一样。^[9]

八元数确实保留了 $\mathbb {R}$ 、 $\mathbb {C}$ 和 $\mathbb {H}$ 共同拥有的一个重要的性质： $\mathbb {O}$ 上的範数满足

\|xy\|=\|x\|\|y\|

这意味着八元数形成了一个非结合的赋範可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质，因為它们都存在零因子。^[19]

这样，实数域上唯一的赋範可除代数是 $\mathbb {R}$ 、 $\mathbb {C}$ 、 $\mathbb {H}$ 和 $\mathbb {O}$ 。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数（英语：Division algebra）。^[8]^:155

由于八元数不是结合的，因此 $\mathbb {O}$ 的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。

自同构

八元数的自同构A，是 $\mathbb {O}$ 的可逆线性变换，满足：

A(xy)=A(x)A(y).\,

$\mathbb {O}$ 的所有自同构的集合组成了一个群，称为 $G 2 （英语： G2 (mathematics) ）$ 。^[21]^[9]群 $G 2$ 是一个单连通、紧致、14维的实李群。^[22]这个群是例外李群（英语：w:Exceptional Lie group#Exceptional cases）中最小的一个。^[23]

参见

双曲复数
四元数
十六元数
$Spin(8)$ （英语：Spin(8)）
$PSL(2,7)$ ──法诺平面的自同构群。

註釋

^ 在範数可良好定義的前提下， ${\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R}$ ，且 $x^{*}x>0$ ^[16]，因此可以得到 $x^{*}x=xx^{*}$ 总是非负实数的結論。

参考文献

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延伸閱讀

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[19] 在範数可良好定義的前提下， ${\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R}$ ，且 $x^{*}x>0$ ^[16]，因此可以得到 $x^{*}x=xx^{*}$ 总是非负实数的結論。

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[3] Graves, On a Connection between the General Theory of Normal Couples and the Theory of Complete Quadratic Functions of Two Variables, Phil. Mag., 1845, 26: 315–320 [2022-04-22], doi:10.1080/14786444508645136, （原始内容存档于2015-04-04）

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[註 1]

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八元數
符號	$\mathbb {O}$
種類	超複代數
單位	$e_{n}$ 形式： $e_{0}$ 、 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ 、 $e_{4}$ 、 $e_{5}$ 、 $e_{6}$ 、 $e_{7}$ $ijkl$ 形式： $1$ 、 $i$ 、 $j$ 、 $k$ 、 $l$ 、 $il$ 、 $jl$ 、 $kl$
乘法單位元	$e_{0}$ 或 $1$
主要性質	非交換非结合
數字系統
$\mathbb {N}$ 自然數 $\mathbb {Z}$ 整數 $\mathbb {Q}$ 有理數 $\mathbb {R}$ 實數 $\mathbb {C}$ 複數 $\mathbb {H}$ 四元數 $\mathbb {O}$ 八元数 $\mathbb {S}$ 十六元數 $\mathbb {T}$ 三十二元數
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