切比雪夫方程(英語:Chebyshev equation)是指二阶线性常微分方程
![{\displaystyle (1-x^{2}){d^{2}y \over dx^{2}}-x{dy \over dx}+p^{2}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c248286311b8dde52dc8621ba12da355e22670ea)
其中p为一实常数。该方程是以俄罗斯数学家巴夫尼提·切比雪夫的名字命名的。
方程的解为幂级数
![{\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b5e031f87f9e8202a1804c0c565e4ffc564527)
其中系数可通过以下递推关系式计算:
![{\displaystyle a_{n+2}={(n-p)(n+p) \over (n+1)(n+2)}a_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b2e2cb7886d26147afa55e65417d0e8901d11d)
级数在
上收敛(对递推关系式应用比值审敛法可得)。
递推关系的初值a0与a1可为任意值,由此可得微分方程不同的特解。通常初值可取为:
- a0 = 1 ; a1 = 0,可得解
![{\displaystyle F(x)=1-{\frac {p^{2}}{2!}}x^{2}+{\frac {(p-2)p^{2}(p+2)}{4!}}x^{4}-{\frac {(p-4)(p-2)p^{2}(p+2)(p+4)}{6!}}x^{6}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7001398d9094c0b316e6ee54308c1325de46e583)
以及
- a0 = 0 ; a1 = 1,可得解
![{\displaystyle G(x)=x-{\frac {(p-1)(p+1)}{3!}}x^{3}+{\frac {(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}}x^{5}-\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1043ceb92a1d418fdbe0e64c0547f7d0a6c6d4c)
通解可表示为以上两特解的任意线性组合。
当p为整数时,两个函数中有一个为有限项:p为偶数时F为有限项,反之G为有限项。此时,那个为有限项的函数是一个p次多项式,并与p次切比雪夫多项式成比例:
(p为偶数)
(p为奇数)
参考文献