中心化矩阵

数学多元变量统计中,中心化矩阵[1]对称幂等矩阵,且当其与向量相乘时,效果等用于从向量的每个分量中减去分量的平均值

定义

大小为n的中心化矩阵是n×n的

 

其中 单位矩阵 是n×n一矩阵。例如

 ,
  ,
 

性质

给定长为n的列向量  中心性可表为

 

其中 值全为1的列向量  的分量的平均值。

  •  是正半定对称阵。
  •  幂等矩阵,所以 。均值被移除的话它就是零,再次移除也没有任何影响。
  •  奇异矩阵/不可逆矩阵。应用 变换的效果无法逆转。
  •  具有重数为n-1的特征值1与重数为1的特征值0
  •  沿向量 有维度为1的零空间
  •  正交投影矩阵。也就是说  在n-1维线性子空间上的投影,其与零空间 正交(这是所有分量和为0的n向量构成的子空间)。
  •  的迹是 

应用

虽然与中心化矩阵相乘并不是去除向量均值的有效计算方法,但却是一种方便的分析工具。它不仅可用来去除单个向量的均值,还可去除存储在m×n矩阵 的行或列中多个向量的均值。

左乘 将从n列的每一列减去相应的均值,这样积 的每列的均值都是0。相似地,右乘 会从每行减去相应的均值,这样积 的每行均值都为0。两侧均乘: 将产生行列均值均为0的矩阵。

中心化矩阵提供了一种表示散布矩阵的方法:对数据样本 ,有 ,其中 样本均值。有了中心化矩阵,可以将散布矩阵更简洁地表示为

 

 多项分布协方差矩阵,在特殊情况下分布参数为  

参考文献

  1. ^ John I. Marden, Analyzing and Modeling Rank Data, Chapman & Hall, 1995, ISBN 0-412-99521-2, page 59.