中心化矩阵

数学和多元变量统计中，中心化矩阵指对称幂等矩阵，且当其与向量相乘时，效果等用于从向量的每个分量中减去分量的平均值。

定义

大小为n的中心化矩阵是n×n的

$C_{n}=I_{n}-{\tfrac {1}{n}}J_{n}$

其中$I_{n}\,$是单位矩阵，$J_{n}$是n×n一矩阵。例如

$C_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}$,

$C_{2}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0\\0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1\\1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right]$ ,

$C_{3}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{3}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]$

性质

给定长为n的列向量$\mathbf {v} \,$，$C_{n}\,$的中心性可表为

$C_{n}\,\mathbf {v} =\mathbf {v} -({\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} )J_{n,1}$

其中$J_{n,1}$是值全为1的列向量，${\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v}$是$\mathbf {v} \,$的分量的平均值。

• $C_{n}\,$是正半定对称阵。

• $C_{n}\,$是幂等矩阵，所以$C_{n}^{k}=C_{n}\ (k=1,2,\ldots )$。均值被移除的话它就是零，再次移除也没有任何影响。
• $C_{n}\,$是奇异矩阵/不可逆矩阵。应用$C_{n}\,\mathbf {v}$变换的效果无法逆转。
• $C_{n}\,$具有重数为n-1的特征值1与重数为1的特征值0

• $C_{n}\,$沿向量$J_{n,1}$有维度为1的零空间。

• $C_{n}\,$是正交投影矩阵。也就是说$C_{n}\mathbf {v}$是$\mathbf {v} \,$在n-1维线性子空间上的投影，其与零空间$J_{n,1}$正交（这是所有分量和为0的n向量构成的子空间）。
• $C_{n}$的迹是$n(n-1)/n=n-1$。

应用

虽然与中心化矩阵相乘并不是去除向量均值的有效计算方法，但却是一种方便的分析工具。它不仅可用来去除单个向量的均值，还可去除存储在m×n矩阵$X$的行或列中多个向量的均值。

左乘$C_{m}$将从n列的每一列减去相应的均值，这样积$C_{m}\,X$的每列的均值都是0。相似地，右乘$C_{n}$会从每行减去相应的均值，这样积$X\,C_{n}$的每行均值都为0。两侧均乘：$C_{m}\,X\,C_{n}$将产生行列均值均为0的矩阵。

中心化矩阵提供了一种表示散布矩阵的方法：对数据样本$X\,$，有$S=(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }$，其中$\mu ={\tfrac {1}{n}}XJ_{n,1}$是样本均值。有了中心化矩阵，可以将散布矩阵更简洁地表示为

$S=X\,C_{n}(X\,C_{n})^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }.$

$C_{n}$是多项分布的协方差矩阵，在特殊情况下分布参数为$k=n$，$p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}={\frac {1}{n}}$。