算术基本定理

算术基本定理，又称为正整數的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2個或以上的質數的积，而且这些質因子按大小排列之后，写法僅有一種方式。

例如： $6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}$ ， $1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}$ ， $5207=41\times 127$ 。

算术基本定理的内容由两部分构成：

分解的存在性：
分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素數乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是初等數論中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

定理陳述

$\forall A\in \mathbb {N} ,\,A>1\quad \exists \prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}=A$ . 其中 $p_{1}<p_{2}<p_{3}<\cdots <p_{n}$ 而且 $p_{i}$ 是一个質数， $a_{i}\in \mathbb {Z} ^{+}$ .

這種表示的方法存在，而且是唯一的。

證明

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若質數 $p|ab$ ，则不是 $p|a$ ，就是 $p|b$ 。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

存在性

用反證法：假設存在大於 $1$ 的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為 $n$ 。

$n$ 不可爲質數，因爲 $n=n$ 可被寫成質數的乘積。因此 $n$ 一定是合數，但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於 $1$ 的自然數的積。設 $n=a\times b$ ，則根據假設，由於 $n$ 是最小的不能被寫成質數乘積的自然數，所以 $a=p_{1}p_{2}...p_{j}$ 和 $b=q_{1}q_{2}...q_{j}$ 都能被寫成質數的乘積。然而 $n=ab=p_{1}p_{2}...p_{j}q_{1}q_{2}...q_{j}$ 也可以寫成質數的乘積，由此產生矛盾，故大於 $1$ 的自然數必可寫成質數的乘積。

唯一性

歐幾里得引理：若質數 $p|ab$ ，则不是 $p|a$ ，就是 $p|b$ 。

引理的证明：若 $p|a$ 则证明完毕。若 $p\nmid a$ ，那么两者的最大公约数为1。根据貝祖等式，存在 $(m,n)$ 使得 $ma+np=1$ 。于是 $b=b(ma+np)=abm+bnp$ 。由于 $p|ab$ ，上式右边两项都可以被p整除。所以 $p|b$ 。

再用反證法：假設有些大于1的自然數可以以多于一种的方式寫成多个質數的乘積，那么假设 $n$ 是其中最小的一個。

首先 $n$ 不是質数。將 $n$ 用兩種方法寫出： $n=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}$ 。根據引理，質数 $p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}$ ，所以 $q_{1},q_{2},q_{3}\cdots q_{s}$ 中有一個能被 $p_{1}$ 整除，不妨设为 $q_{1}$ 。但 $q_{1}$ 也是質数，因此 $q_{1}=p_{1}$ 。所以，比 $n$ 小的正整数 $n'=p_{2}p_{3}\cdots p_{r}$ 也可以写成 $q_{2}q_{3}\cdots q_{s}$ 。这与 $n$ 的最小性矛盾！

因此唯一性得证。

高斯类数

对于二次方程： $ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)$ ，它的根可以表示为： $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

因为负数不能开平方， $b^{2}-4ac$ 的符号就很重要，如果为正，有两个根；如果为0，只有一个根；如果为负，没有实根。欧拉的素数公式： $f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)$ $b^{2}-4ac=1-164=-163$ 两个复数解為: $x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {163}}i}{2}}$

$a+b{\sqrt[{}]{-d}}$ 哪个 $d$ 值可以得到唯一分解定理？ $d=1,2,3$ 皆可得到定理，但當 $d=5$ 时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解（分解至不可分约的情形）。 $6=2\times 3$ ； $6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$ 。在高斯时代，已知有9个 $d$ 使得 $a+b{\sqrt[{}]{-d}}$ 所产生的数有唯一因子分解（ $a$ ， $b$ 如上面指出那样取值）。 $d=1,2,3,7,11,19,43,67,163$ 高斯认为 $d$ 的數量不會超過10個，但是没有人能够证明。 1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师庫爾特·黑格納（英语：Kurt Heegner）（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（AlanBaker）独立用不同方法证明了第10个 $d$ 值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作，发现他的证明是正确的。为了紀念长期被忽视的希格内尔，上述的9個數被稱為黑格纳数，一些曲线上的点被命名为希格内尔点。参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。