算術基本定理

算術基本定理,又稱為正整數的唯一分解定理,即:每個大於1的自然數,要麼本身就是質數,要麼可以寫為2個或以上的質數的,而且這些質因子按大小排列之後,寫法僅有一種方式。

例如:

算術基本定理的內容由兩部分構成:

  • 分解的存在性:
  • 分解的唯一性,即若不考慮排列的順序,正整數分解為素數乘積的方式是唯一的。

算術基本定理是初等數論中一個基本的定理,也是許多其他定理的邏輯支撐點和出發點。

定理陳述

 . 其中   而且   是一個質數 .

這種表示的方法存在,而且是唯一的。

證明

算術基本定理的最早證明是由歐幾里得給出的。準確的說,歐幾里得證明了在一般整環上看與算術基本定理等價的命題:若質數 ,則不是  ,就是 。然而,在歐幾里得的時代,並沒有發展出冪運算和指數的寫法,甚至連四個整數的乘積這種算式都被認為是沒有意義的,所以歐幾里得並沒有給出算術基本定理的現代陳述。

存在性

反證法:假設存在大於   的自然數不能寫成質數的乘積,把最小的那個稱為  

  不可爲質數,因爲   可被寫成質數的乘積。因此   一定是合數,但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於   的自然數的積。設   ,則根據假設,由於   是最小的不能被寫成質數乘積的自然數,所以    都能被寫成質數的乘積。然而   也可以寫成質數的乘積,由此產生矛盾,故大於   的自然數必可寫成質數的乘積。

唯一性

歐幾里得引理:若質數 ,則不是  ,就是 

引理的證明:若  則證明完畢。若 ,那麼兩者的最大公約數為1。根據貝祖等式,存在  使得 。於是 。 由於 ,上式右邊兩項都可以被p整除。所以 

再用反證法:假設有些大於1的自然數可以以多於一種的方式寫成多個質數的乘積,那麼假設 是其中最小的一個。

首先 不是質數。將 用兩種方法寫出:  。根據引理,質數  ,所以  中有一個能被 整除,不妨設為 。但 也是質數,因此  。所以,比 小的正整數 也可以寫成  。這與  的最小性矛盾!

因此唯一性得證。

相關

在一般的數域中,並不存在相應的定理;事實上,在虛二次域   之中,只有少數幾個能滿足,最大的一個   。例如, 可以以兩種方式在   中表成整數乘積:  。同樣的,在分圓整數中一般也不存在唯一分解性,而這恰恰是人們在証明費馬大定理時所遇到的陷阱之一。

歐幾里得在普通整數   中証明了算術基本定理──每個整數可唯一地分解為素數的乘積,高斯則在複整數   中得出並証明,只要不計四個可逆元素   之作用,那麼這個唯一分解定理在   也成立。高斯還指出,包括費馬大定理在內的普通素數的許多定理都可能擴大到複數域。

高斯類數

對於二次方程: ,它的根可以表示為:  

因為負數不能開平方, 的符號就很重要,如果為正,有兩個根;如果為0,只有一個根;如果為負,沒有實根。歐拉的素數公式:    兩個複數解為:  

 哪個 值可以得到唯一分解定理?  皆可得到定理,但當 時不能。因為在這個數系中6這個數有兩種形式的因子分解(分解至不可分約的情形)。   。在高斯時代,已知有9個 使得 所產生的數有唯一因子分解(  如上面指出那樣取值)。  高斯認為 的數量不會超過10個,但是沒有人能夠證明。 1952年,業餘數學家,退休的瑞士工程師庫爾特·黑格納英語Kurt Heegner(Kurt Heegner)發表了他的證明,聲稱第10個高斯類數不存在。但是沒有人相信他。世界又等待了15年之後才知道這個定理:麻省理工學院的斯塔克(Harold Stark)和劍橋大學的阿蘭貝克(AlanBaker)獨立用不同方法證明了第10個 值不存在。兩個人重新檢查了希格內爾的工作,發現他的證明是正確的。 為了紀念長期被忽視的希格內爾,上述的9個數被稱為黑格納數,一些曲線上的點被命名為希格內爾點。 參見《數學新的黃金時代》和其它數學書籍。

外部連結