算術基本定理

算術基本定理，又稱為正整數的唯一分解定理，即：每個大於1的自然數，要麼本身就是質數，要麼可以寫為2個或以上的質數的積，而且這些質因子按大小排列之後，寫法僅有一種方式。

例如： $6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}$ ， $1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}$ ， $5207=41\times 127$ 。

算術基本定理的內容由兩部分構成：

分解的存在性：
分解的唯一性，即若不考慮排列的順序，正整數分解為素數乘積的方式是唯一的。

算術基本定理是初等數論中一個基本的定理，也是許多其他定理的邏輯支撐點和出發點。

定理陳述

$\forall A\in \mathbb {N} ,\,A>1\quad \exists \prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}=A$ . 其中 $p_{1}<p_{2}<p_{3}<\cdots <p_{n}$ 而且 $p_{i}$ 是一個質數， $a_{i}\in \mathbb {Z} ^{+}$ .

這種表示的方法存在，而且是唯一的。

證明

算術基本定理的最早證明是由歐幾里得給出的。準確的說，歐幾里得證明了在一般整環上看與算術基本定理等價的命題：若質數 $p|ab$ ，則不是 $p|a$ ，就是 $p|b$ 。然而，在歐幾里得的時代，並沒有發展出冪運算和指數的寫法，甚至連四個整數的乘積這種算式都被認為是沒有意義的，所以歐幾里得並沒有給出算術基本定理的現代陳述。

存在性

用反證法：假設存在大於 $1$ 的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為 $n$ 。

$n$ 不可爲質數，因爲 $n=n$ 可被寫成質數的乘積。因此 $n$ 一定是合數，但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於 $1$ 的自然數的積。設 $n=a\times b$ ，則根據假設，由於 $n$ 是最小的不能被寫成質數乘積的自然數，所以 $a=p_{1}p_{2}...p_{j}$ 和 $b=q_{1}q_{2}...q_{j}$ 都能被寫成質數的乘積。然而 $n=ab=p_{1}p_{2}...p_{j}q_{1}q_{2}...q_{j}$ 也可以寫成質數的乘積，由此產生矛盾，故大於 $1$ 的自然數必可寫成質數的乘積。

唯一性

歐幾里得引理：若質數 $p|ab$ ，則不是 $p|a$ ，就是 $p|b$ 。

引理的證明：若 $p|a$ 則證明完畢。若 $p\nmid a$ ，那麼兩者的最大公約數為1。根據貝祖等式，存在 $(m,n)$ 使得 $ma+np=1$ 。於是 $b=b(ma+np)=abm+bnp$ 。由於 $p|ab$ ，上式右邊兩項都可以被p整除。所以 $p|b$ 。

再用反證法：假設有些大於1的自然數可以以多於一種的方式寫成多個質數的乘積，那麼假設 $n$ 是其中最小的一個。

首先 $n$ 不是質數。將 $n$ 用兩種方法寫出： $n=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}$ 。根據引理，質數 $p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}$ ，所以 $q_{1},q_{2},q_{3}\cdots q_{s}$ 中有一個能被 $p_{1}$ 整除，不妨設為 $q_{1}$ 。但 $q_{1}$ 也是質數，因此 $q_{1}=p_{1}$ 。所以，比 $n$ 小的正整數 $n'=p_{2}p_{3}\cdots p_{r}$ 也可以寫成 $q_{2}q_{3}\cdots q_{s}$ 。這與 $n$ 的最小性矛盾！

因此唯一性得證。

高斯類數

對於二次方程： $ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)$ ，它的根可以表示為： $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

因為負數不能開平方， $b^{2}-4ac$ 的符號就很重要，如果為正，有兩個根；如果為0，只有一個根；如果為負，沒有實根。歐拉的素數公式： $f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)$ $b^{2}-4ac=1-164=-163$ 兩個複數解為: $x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {163}}i}{2}}$

$a+b{\sqrt[{}]{-d}}$ 哪個 $d$ 值可以得到唯一分解定理？ $d=1,2,3$ 皆可得到定理，但當 $d=5$ 時不能。因為在這個數系中6這個數有兩種形式的因子分解（分解至不可分約的情形）。 $6=2\times 3$ ； $6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$ 。在高斯時代，已知有9個 $d$ 使得 $a+b{\sqrt[{}]{-d}}$ 所產生的數有唯一因子分解（ $a$ ， $b$ 如上面指出那樣取值）。 $d=1,2,3,7,11,19,43,67,163$ 高斯認為 $d$ 的數量不會超過10個，但是沒有人能夠證明。 1952年，業餘數學家，退休的瑞士工程師庫爾特·黑格納（英語：Kurt Heegner）（Kurt Heegner）發表了他的證明，聲稱第10個高斯類數不存在。但是沒有人相信他。世界又等待了15年之後才知道這個定理：麻省理工學院的斯塔克（Harold Stark）和劍橋大學的阿蘭貝克（AlanBaker）獨立用不同方法證明了第10個 $d$ 值不存在。兩個人重新檢查了希格內爾的工作，發現他的證明是正確的。為了紀念長期被忽視的希格內爾，上述的9個數被稱為黑格納數，一些曲線上的點被命名為希格內爾點。參見《數學新的黃金時代》和其它數學書籍。