对位证明法

对位证明法[1](英語:proof by contrapositive,又或者proof by negation),或称否定证明法逆否命题法[2],是逻辑數學的其中一個證明方法。其与反证法相似,但是是不同的概念。根據邏輯,「」等於「」,即取其逆否命题[3]

需要注意,对位证明法与反证法不同。

定義

给予给予初始实质条件命题“若P,则Q”: ,对位证明法证明其逻辑等价的逆否命题“若非Q,则非P”: 的真值。

逻辑上,对立证明法的可用性可以以比较逆否命题和原命题的真值表证明,即证明  的真值完全一样:

           
T T F F T T
T F F T F F
F T T F T T
F F T T T T

例子

  • 「我的妈妈是女人。」需要证明的逆否命题是「不是女人就不是我的妈妈。」
  • 「若 是单数,则 是双数。」需要证明的逆否命题是「若 不是双数,则 不是单数。」

反證法与对立證明的分別

反證法:假設   正确, ,發現   不对,於是證明   正确。

否定證明:證明   正确,於是转换證明   正确。

證明例子

證明「假設   是雙數,则  都會是雙數。」

證明:

逆否命题:「假設   不是雙數,则   也不是雙數。」

換句話講,即係「假設   是單數,则   也是單數。」

因為   是單數,所以   是整数。

 

因為   是整数,所以   是單數。

集合論例子

如果   都是set),而他们符合   。證明如果  ,则  

證明

如果用直接證明,會很麻烦。但是,如果利用对立證明,即假設  则会简单得多。

因為  ,而  ,所以  

这样   一定成立。

更多例子

以下命題都可以用对立證明证真:

  • 假設   都是自然數。如果  單數,则    都是單數。
  • 假設   都是實數。如果  無理數,则   或者   是無理數。

参见

參考

  1. ^ 【学习笔记】离散数学(Discrete Math) - 证明 Proof 3. blog.csdn.net. [2021-11-18]. (原始内容存档于2021-11-18). 
  2. ^ 反證法與逆否命題法. 線代啟示錄. 2016-03-17 [2021-11-18]. (原始内容存档于2021-11-18) (英语). 
  3. ^ Mariotti, M. A. (2006). Proof and proving in mathematics education. Handbook of research on the psychology of mathematics education: Past, present and future, 173-204