微分算子

數學中,微分算子(英語:Differential operator)是定義為微分運算之函數的算子。首先在記號上,將微分考慮為一個抽象運算是有幫助的,它接受一個函數得到另一個函數[註 1][註 2]

記號

最常用的微分算子是取導數自身。這個算子的常用記號包括:  (在不會搞混哪個變量微分時),以及 (指明了變量)。

一階導數如上所示,但當取更高階n-次導數時,下列替代性記號是有用的:   

記號D的發明與使用歸於奧利弗·亥維賽,他在研究微分方程中考慮了如下形式的微分算子

 

另一個最常見的微分算子是拉普拉斯算子,定義為

 

另一個微分算子是Θ算子,定義為

 

有時候這也稱為齊次算子,因為它的本徵函數是關於z的單項式:

 

n個變量中齊次算子由

 

給出。與單變量一樣,Θ的本徵空間齊次多項式空間。

一個算子的伴隨

給定一個線性微分算子T

 

這個算子的伴隨定義為算子 使得

 

這裏記號 表示數量積點積。從而此定義取決於數乘的定義。

單變量中的形式伴隨

平方可積函數空間中,數量積定義為

 

如果另外增添要求fg  等於零,我們也可定義T的伴隨為

 

此公式不明顯地取決於數量積的定義,故有時作為伴隨算子的一個定義。當 用這個公式定義時,它稱為T形式伴隨

一個(形式)自伴算子是與它的(形式)伴隨相等的算子。

多變量

如果Ω是Rn中一個區域,而P是Ω上一個微分算子,則PL2(Ω)中的伴隨由對偶性以類似的方式定義:

 

對所有光滑L2函數fg。因為光滑函數在L2中是稠密的,這在L2的一個稠密子集上定義了伴隨:: P*是一個稠定算子

例子

施圖姆-劉維爾算子是形式自伴算子一個熟知的例子。這個二階微分算子L可以寫成如下形式

 

這個性質可用上面的形式自伴的定義來證明。

 

這個算子在施圖姆-劉維爾理論Sturm–Liouville theory) 中的關鍵,其中考慮了這個算子本徵函數(類比於本徵向量)。

微分算子的性質

微分是線性的,即

 
 

這裏fg是函數,而a是一個常數。

任何以函數為係數之D的多項式也是一個微分算子。我們也可以通過法則

 

複合微分算子。需要一些注意:首先算子D2中的任何函數係數必須具有D1所要求的可微次數。為了得到這樣運算的一個環,我們必須假設所用的係數的所有階導數。第二,這個環不是交換的:一個算子gD一般與Dg不同。事實上我們有例,如在量子力學中的基本關係:

 

但這些算子的子環:D常係數多項式是交換的。它可以另一種方式刻畫:它由平移不變算子組成。

微分算子也服從移位定理shift theorem)。

多變量

同樣的構造可對偏導數也成立,關於不同的變量微分給出可交換的算子[註 3]

坐標無關描述以及與交換代數的關係

微分幾何代數幾何中,通常習慣於對兩個向量叢之間的微分算子有一個坐標無關描述。設  是流形 上兩個向量叢。截面的一個 -線性映射 稱為一個k-階微分算子,如果它分解穿過節叢 。換句話說,存在一個向量叢的線性映射

 

使得

 

這裏 表示由 ,在截面上誘導的映射,而 ,是典範(或通用)k-階微分算子。

這恰好意味着對一個給定的截面  of   在一個點 的值完全由  k-階無窮小行為決定。特別地這蘊含着   決定,這說明了微分算子是局部的。一個基本的結果是皮特定理Peetre theorem)證明了逆命題也是正確的:任何局部算子是微分。

線性微分算子的一個等價的,但純代數的描述如下: 一個 -線性映射 是一個k-階微分算子,如果對任何(k + 1)階光滑函數 我們有

 

這裏括號 定義為交換子

 

線性算子的這個刻畫說明,它們是一個交換代數上的之間的一個特殊映射,使這個概念可視為交換代數的一部分。

例子

註釋

  1. ^ 計算機科學高階函數的方式
  2. ^ 當然有理由不單限制於線性算子。例如在只考慮線性的情況下,施瓦茨導數英語Schwarz derivative是一個熟知的非線性算子。
  3. ^ 參見二階導數的對稱性

參見