拉比判别法

拉比判別法(英語:Raabe's Test)是判斷一個級數收歛的方法。在判断比几何级数收敛得慢的级数时,比柯西判别法达朗贝尔判别法更有效。[1]

无穷级数
无穷级数

定理

对任意级数 

  • 如果存在    ,使得当   时,有
 
那么级数 绝对收敛
  • 如果对充分大的   ,有
 
那么级数 发散。[1]

极限形式

对任意级数  ,令

 
  •   时级数绝对收敛
  •   时說明级数   发散(沒有絕對收斂),原級數   可能收斂也可能發散。
  •   时级数可能收敛也可能发散[2][3]

证明

  •   时,存在   使得  . 则:
 
  对充分大的  
 
 

因为当   时级数   收敛,故级数    时收敛,即级数   绝对收敛。 [4]

  •   时,有
 ,则
 ,即
 
由于   发散,故   发散。[1]

例子

  时无法判断其敛散性,举例如下:

已知有
 
 
已知当   时,  ;当   时,  ,然而由上式得
 
这说明当   时,拉比判别法无效。[5]

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 常庚哲,史济怀. 数学分析教程(下册). 安徽合肥: 中国科学技术大学出版社. 2013: 第173页. ISBN 9787312031311. 
  2. ^ 谢惠民. 数学分析习题课讲义. 北京: 高等教育出版社. 2004: 第8页. ISBN 9787040129410. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. (编). Raabe's Test. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. (原始内容存档于2015-04-02) (英语). 
  4. ^ Mathumatiks :: Raabes Test and Logarithmic Test. mathumatiks.org. [2015-09-03]. (原始内容存档于2016-03-04). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. (原始内容存档于2015-09-05) (英语).