贝特朗判别法(英語:Bertrand's test)是正项级数敛散性的一种判别方法,分析通过级数项作成的形如
序列的极限,可以更为精细地讨论级数的收敛性,可以看作达朗贝尔判别法、拉阿伯判别法或库默尔判别法的推论。
无穷级数
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![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d3b3177dde333e5442a7d132a37b31b00f4856)
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无穷级数
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定理
设 是欲判断敛散性的级数,定义序列
设它具有极限
那么:
- 倘若 ,级数收敛;
- 倘若 ,级数发散;
- 倘若 ,则级数的敛散性暂时不能确定[1]。
证明
在库默尔判别法中取 ,这样的选取是可以允许的,因为级数 发散。
在这情形下有 。
也可以表示成 。
其中 ,这就得到了贝特朗判别法。
參考文獻