在数学中,闵可夫斯基不等式(Minkowski inequality)表明Lp空间是一个赋范向量空间。设
是一个测度空间,
,那么
,我们有:
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d3de762058656808721fc899c4b223914c6c3f)
如果
,等号成立当且仅当
,或者
.
闵可夫斯基不等式是
中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样,闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式:
![{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a5b5165851e5567457995651dadc822b79752a)
将所有实数
(
为
的维数)改成复数同样成立。
值得指出的是,如果
,
,则
可以变为
.
积分形式的证明
我们考虑 的 次幂:
(用三角形不等式展开 )
(用赫尔德不等式)
(利用 ,因为 )
现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项。首项除以尾项的最后一个因子,即得
这正是我们所要的结论。
对于序列的情形,证明是完全类似的。
参阅
参考文献