闵可夫斯基不等式

数学不等式

数学中,闵可夫斯基不等式Minkowski inequality)表明Lp空间是一个赋范向量空间。设 是一个测度空间,那么 ,我们有:

如果 等号成立当且仅当 ,或者 .

闵可夫斯基不等式是 中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样,闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列向量的特殊形式:

将所有实数 维数)改成复数同样成立。

值得指出的是,如果 ,则 可以变为 .

积分形式的证明

我们考虑    次幂:

 

(用三角形不等式展开  

 

(用赫尔德不等式

 

 

(利用  ,因为 

 

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项。首项除以尾项的最后一个因子,即得

 

这正是我们所要的结论。

对于序列的情形,证明是完全类似的。

参阅

参考文献