一致连续

一致连续又称均匀连续,(英语:uniformly continuous),为数学分析的专有名词,大致来讲是描述对于函数 我们只要在定义域中让任意两点 越来越接近,我们就可以让 无限靠近,这跟一般的连续函数不同之处在于: 之间的距离并不依赖 的位置选择。 一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续,则其在此度量空间上必然连续,但反之未必成立。

正式的 ε-δ 定义

   皆是度量空间,我们说函数   一致连续,这代表对任意的  ,存在  ,使得定义域中任意两点   只要  ,就有  

   都是实数的子集合,   为绝对值   时,一致连续的定义可表述为:如果对任意的  ,存在  ,使得对任意两点  ,都有  ,则称函数   上一致连续。

一致连续跟在每点连续最大的不同在于:在一致连续定义中,正数   的选择只依赖   这变量,而不依赖定义域上点的位置。

一致连续性定理

定理

一个从紧致度量空间度量空间的连续函数是一致连续的。

证明

设函数  为紧致度量空间, 为度量空间。

假设 不是一致连续的,则存在一个 ,对于任意 都存在 满足条件 并且 

因为 为紧致度量空间, 是序列紧致的,所以存在一个 的收敛子序列 ,设其收敛到 

 ,所以 

因为 连续, ,矛盾,定理得证。

一致连续相比于连续是一个更强的结论。一般情况下,连续不意味着一致连续。

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