均勻連續

均勻連續又稱一致連續,(英語:uniformly continuous),為數學分析的專有名詞,大致來講是描述對於函數 我們只要在定義域中讓任意兩點 越來越接近,我們就可以讓 無限靠近,這跟一般的連續函數不同之處在於: 之間的距離並不依賴 的位置選擇。 均勻連續是比連續更苛刻的條件。一個函數在某度量空間上均勻連續,則其在此度量空間上必然連續,但反之未必成立。

正式的 ε-δ 定義

   皆是度量空間,我們說函數   均勻連續,這代表對任意的  ,存在  ,使得定義域中任意兩點   只要  ,就有  

   都是實數的子集合,   為絕對值   時,均勻連續的定義可表述為:如果對任意的  ,存在  ,使得對任意兩點  ,都有  ,則稱函數   上均勻連續。

均勻連續跟在每點連續最大的不同在於:在均勻連續定義中,正數   的選擇只依賴   這變數,而不依賴定義域上點的位置。

均勻連續性定理

定理

一個從緊緻度量空間度量空間的連續函數是均勻連續的。

證明

設函數  為緊緻度量空間, 為度量空間。

假設 不是均勻連續的,則存在一個 ,對於任意 都存在 滿足條件 並且 

因為 為緊緻度量空間, 是序列緊緻的,所以存在一個 的收斂子序列 ,設其收斂到 

 ,所以 

因為 連續, ,矛盾,定理得證。

均勻連續相比於連續是一個更強的結論。一般情況下,連續不意味著均勻連續。

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