二阶导数

微积分中，函数 $f$ 的二阶导数（英语：second derivative或second order derivative）是其导数的导数。粗略而言，某量的二阶导数，描述该量的变化率本身是否变化得快。例如，物体位置对时间的二阶导数是瞬时加速度，即该物体的速度随时间的变化率。用莱布尼兹记法：

二次函数的二阶导数是常数。

${\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}},$

其中 ${\boldsymbol {a}}$ 为加速度，${\boldsymbol {v}}$ 为速度，$t$ 为时间，${\boldsymbol {x}}$ 为位置，而 $\mathrm {d}$ 表示瞬时的差值（又称“delta”值）。最后一式 ${\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}}$ 是位置 ${\boldsymbol {x}}$ 对时间的二阶导数。

绘制函数图形时，二阶导数描述曲线的曲率或凹凸性。若函数的二阶导数为正，则其图像是向上弯，像只杯（$\cup$）。反之，若其二阶导数为负，则向下弯，像顶帽（$\cap$）。

二阶导数的幂法则

连续两次用一阶导数的幂法则，则会推导出二阶导数的幂法则，如下所示：

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.$

公式对任意实数 $n$ 成立。

记法

更多信息：微分记法

函数 $f$ 的二阶导函数常记为 $f''$，其于 $x$ 处取值为 $f''(x)$。换言之，

$f''=\left(f'\right)',$

其中 $'$ 表示一阶求导。若用莱布尼兹记法表示导数，则因变数 $y$ 关于自变数 $x$ 的二阶导数记为

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.$

此种写法的理由是，${\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ 表示对 $x$ 求导，从而求导两次应写成：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)\,=\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.$

其他记法

如前段所记，二阶导数标准的莱布尼兹记法为 ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}}$。然而，无法视之为纯代数符号作运算。意思是，虽然看似两个微分相除组成的分数，但是无法拆分、抵销等。不过，可藉另一种记法补救前述问题。此记法是基于一阶导数的商法则。倘若视 ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$ 为两微分之商，则求导时，根据商法则应有：

${\begin{aligned}y''(x)&=\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)'\\&={\frac {(\mathrm {d} y)'\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot (\mathrm {d} x)'}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\mathrm {d} y)\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} x^{2}}}.\end{aligned}}$

上式中，$y''(x)$ 为二阶导数，但 ${\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}$ 则不然。$\mathrm {d} u$ 表示微分算子施用于 $u$ 的结果，即 $\mathrm {d} (u)$，而 $\mathrm {d} ^{2}u$ 表示微分算子迭代两次的结果，即 $\mathrm {d} (\mathrm {d} (u))$。最后 $\mathrm {d} u^{2}$ 是先微分再平方，即 $(\mathrm {d} (u))^{2}$。

若采此写法（并依上段解读各符号含义），则二阶导数各项可以自由操作，与其他代数项作运算。例如，二阶导数的反函数公式，可自上式经一轮代数运算而得。二阶导数的链式法则亦然。不过，运算上的方便，与更换符号的不便，孰轻孰重，仍待定论。

例

考虑

$f(x)=x^{3},$

运用幂法则，$f$ 的导数 $f'$ 由下式给出：

$f^{\prime }(x)=3x^{2}.$

$f$ 的二阶导数即是对导数 $f'$ 再次求导的结果，由下式给出：

$f^{\prime \prime }(x)=6x.$

另一个例子，考虑正弦函数 $\sin$。有

$\sin '(x)=\cos(x),$

而再次求导后，得到

$\sin ''(x)=\cos '(x)=-\sin(x).$

换言之，正弦函数的二阶导数是自身的相反数。

与图像的关系

$f(x)=\sin(2x)$ 的图像，其中 $x$ 的取值范围是由 $-\pi /4$ 至 $5\pi /4$。当曲线向上弯时，切线为蓝色。向下弯时则为绿。于拐点（即 $0,\ \pi /2,\ \pi$）处则为红。

凹向

函数 $f$ 的二阶导数，描述其图像凹的方向和程度，即凹性（concavity）。若二阶导数在某区间恒正，则函数在该区间向上凹（向上弯，又称为凸函数或下凸函数），意即其切线总位于图像下方“承托”。反之，若二阶导数在某区间恒负，则函数在该区间向下凹（向下弯，又称为凹函数或上凸函数），其切线总位于图像的上方“压制”着。

拐点

主条目：拐点

若函数的二阶导数在某点的左右异号，则图像由向上弯转变成向下弯，或反之。此种点称为拐点（inflection point）。假设二阶导数连续，则在该点处必取零值，故可用“二阶导数为零”之条件，筛选出可能的拐点。不过，二阶导数为零的点不一定是拐点，如 $f(x)=x^{4}$ 有 $f''(0)=0$，但 $f$ 在实数系上为凸，无拐点。

二阶导数检验

主条目：二阶导数检验

二阶导数与凹凸性的关系，有助判断函数 $f$ 的驻点（即满足 $f'(x)=0$ 的点 $x$）是否为局部极大点或极小点。具体言之：

• 若 $f^{\prime \prime }(x)<0$，则 $f$ 于 $x$ 点取得局部极大值。
• 若 $f^{\prime \prime }(x)>0$，则 $f$ 于 $x$ 点取得局部极小值。
• 若 $f^{\prime \prime }(x)=0$，则二阶导数检验无定论。该点或许是拐点，也可能是极大或极小点。

直观理解，考虑一架赛车高速前进，但正在减速（加速度为负），则当速度降至零的一刻，赛车所在位置即为自起点出发，能达到的前方最远处，因为此后速度降至负值，赛车会倒车。同样，若考虑高速后退但加速度为正的赛车，则相应得到关于极小值的结论。

极限

二阶导数若存在，则可以只用一个极限写出：

$f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$

以上极限称为二阶对称导数。但是，有时二阶对称导数存在，则函数仍没有（平常的）二阶导数。

右侧欲求极限的分式，可理解成差商的差商：

${\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.$

故其极限可视作序列二阶差分的连续版本。

然而，上述极限存在并不推出函数 $f$ 二阶可导。该极限仅是二阶导数存在时，计算该导数的一种方法，但并非其定义。反例有符号函数 $\operatorname {sgn}$，其定义为：

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&{\text{若 }}\ x<0,\\0,&{\text{若 }}\ x=0,\\1,&{\text{若 }}\ x>0.\end{cases}}$

符号函数在原点不连续，从而不可导，尤其并非二阶可导。但是，在 $x=0$ 处，二阶对称导数存在：

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}$

二次近似

正如导数与线性近似密切相关，二阶导数也与二次近似如影随形。某函数 $f$ 于某点的二次近似，是一个二次函数，与 $f$ 在该点处具有一样的一、二阶导数。函数 $f$ 于 $a$ 附近的二次近似可写成：

$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.$

函数的二次近似就是第二阶的泰勒多项式。

本征值与本征函数

因为求导运算为线性，所以求导两次亦可视为函数空间上的线性算子，从而可以研究其谱。换言之，可求微分方程 $v''=\lambda v$ 的函数解 $v$（本征向量）与常数 $\lambda$（本征值）。对于许多种边界条件，可以明确求出二阶导数的本征值与本征向量。

举例，以闭区间 $[0,L]$ 为定义域，边界采用齐次狄利克雷条件（即 $v(0)=v(L)=0$），则诸本征值为 $\lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$，对应本征向量（亦称本征函数）$v_{j}$ 由

$v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)$

给出。此处 $v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)$，$j$ 为任意正整数。

其他情况的解，见二阶导数的本征值与本征向量。

高维推广

黑塞方阵

主条目：黑塞矩阵

二阶导数的高维推广，其一是同时考虑全体二阶偏导数 ${\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}$。对于三元函数 $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$，二阶偏导数包括

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},$

以及混合偏导数

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.$

还有其他次序的混合偏导数，如 ${\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}$，但由二阶导数的对称性，只要 $f$ 满足特定条件（如二阶偏导数处处连续），则其他次序的混合偏导数等于上述已列出的偏导数。于是，各方向的二阶偏导数可以砌成一个对称方阵，称为黑塞方阵（英语：Hessian或Hessian matrix）。该方阵的本征值适用于多变量情况的二阶导数检验（称为二阶偏导数检验）。

拉普拉斯算子

主条目：拉普拉斯算子

另一种常见推广，则是只考虑对同一个变量的二阶导数，再求和，得到拉普拉斯算子（Laplace operator或Laplacian）。拉氏微分算子记作 $\nabla ^{2}$ 或 $\Delta$。以三维情形为例，定义为

$\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$

函数的拉氏算子等于梯度的散度，亦是前述黑塞方阵之迹。

参见

• 啁啾度——某讯号瞬时相位的二阶导数（瞬时频率的一阶导数）。

延伸阅读

纸本

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen, Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable 8th, New York: Wiley, February 2, 2005, ISBN 978-0-471-47244-5 
• Apostol, Tom M., Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra 1 2nd, Wiley, June 1967, ISBN 978-0-471-00005-1 
• Apostol, Tom M., Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications 1 2nd, Wiley, June 1969, ISBN 978-0-471-00007-5 
• Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics 6th, Brooks Cole, January 2, 1990, ISBN 978-0-03-029558-4 
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H., Calculus: Early Transcendental Functions 4th, Houghton Mifflin Company, February 28, 2006, ISBN 978-0-618-60624-5 
• Spivak, Michael, Calculus 3rd, Publish or Perish, September 1994, ISBN 978-0-914098-89-8 
• Stewart, James, Calculus 5th, Brooks Cole, December 24, 2002, ISBN 978-0-534-39339-7 
• Thompson, Silvanus P., Calculus Made Easy Revised, Updated, Expanded, New York: St. Martin's Press, September 8, 1998, ISBN 978-0-312-18548-0 

网上

• Crowell, Benjamin, Calculus, 2003 [2021-11-28], （原始内容存档于2012-02-04） 
• Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus, 2004 [2021-11-28], （原始内容存档于2012-02-05） 
• Hussain, Faraz, Understanding Calculus, 2006 [2021-11-28], （原始内容存档于2019-03-26） 
• Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, 2000 [2021-11-28], （原始内容存档于2011-05-01） 
• Mauch, Sean, Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, 2004, （原始内容存档于2006-04-15） 
• Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, 2000 [2021-11-28], （原始内容存档于2012-04-14） 
• Strang, Gilbert, Calculus, 1991 [2021-11-28], （原始内容存档于2010-02-25） 
• Stroyan, Keith D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, 1997, （原始内容存档于2005-09-11） 
• Wikibooks, Calculus, [2021-11-28], （原始内容存档于2018-09-03）