梯形公式

梯形公式是数学中数值积分的基础公式之一：$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.$

线性函数（红色）会作用估算函数$f(x)$ （蓝色）。

公式由来

由积分中值定理可得

$\exists \xi \in [a,b]\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi )$，

但由于ξ其值一般难于确定，故难以准确算出$f(\xi )$的值。

如果用两端点$f(a)$与$f(b)$的算术平均值估算$f(\xi )$，有

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {b-a}{2}}[f(a)+f(b)]$，

这就是梯形公式。

类似地，如果用区间中点$c={\frac {a+b}{2}}$其高度$f(c)$取代$f(\xi )$，从而有中矩形公式

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a)f({\frac {a+b}{2}})$。

复合求积公式

每一区间相同

梯形公式的示意图（长度相同的区间）。

为了计算出更加准确的定积分，可以把积分的区间$[a,b]$分成$N$份，当中$N$趋向无限，分割出的每一个区间长度必定要是一样的，然后就可以应用梯形公式：

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right].$

亦可以写成：

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2N}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_{N})\right)$

当中

$x_{k}=a+k{\frac {b-a}{N}},{\text{ for }}k=0,1,\dots ,N$

其余项为

$R_{n}(f)=-{\frac {b-a}{12}}h^{2}f''(\eta ),\eta \in (a,b)$

当区间的长度并不相同时，这一条公式便不能使用。

每一区间并不相同

梯形公式的示意图（长度不相同的区间）

给予$x_{1},\ldots ,x_{N}$以及$y_{1},\ldots ,y_{N}$，定积分就可以估算成

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{2}}\sum _{i=2}^{N}(x_{i}-x_{i-1})(y_{i}+y_{i-1})$,

当中

$y_{i}=f(x_{i})$.

误差分析

应用梯形公式的误差值是真值数字与运用梯形公式结果的差异：

${\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]$

如果 $(a,b)$中存在一个实数$\xi$，那么

${\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )$

对于中矩形公式，其误差类似的有：

${\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\xi )$

如果被积函数是一个凸函数（亦即有一个正值二阶导数），那么误差会是一个负数，也代表梯形公式的估算值高估了真实数字。这可以利用一个几何图形代去表达：梯形不但覆盖曲线下的面积更超越其范围。同样地，如果被积函数是一个凹函数，梯形公式就会低估其真实数字因为曲线下部分面积没有被计算在内。如果被积函数中有拐点。它的错误是比较难去估计。

一般而言有数种方法可以去分析误差，例如是：傅里叶级数。

在$N\rightarrow \infty$的情况下，趋向性的估计误差是：

${\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).$

参考文献

• 《数值分析》，清华大学出版社，李庆扬等编，书号ISBN 978-7-302-18565-9