梯形公式

梯形公式是數學中數值積分的基礎公式之一：$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.$

線性函數（紅色）會作用估算函數$f(x)$ （藍色）。

公式由來

由積分中值定理可得

$\exists \xi \in [a,b]\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi )$，

但由於ξ其值一般難於確定，故難以準確算出$f(\xi )$的值。

如果用兩端點$f(a)$與$f(b)$的算術平均值估算$f(\xi )$，有

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {b-a}{2}}[f(a)+f(b)]$，

這就是梯形公式。

類似地，如果用區間中點$c={\frac {a+b}{2}}$其高度$f(c)$取代$f(\xi )$，從而有中矩形公式

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a)f({\frac {a+b}{2}})$。

複合求積公式

每一區間相同

梯形公式的示意圖（長度相同的區間）。

為了計算出更加準確的定積分，可以把積分的區間$[a,b]$分成$N$份，當中$N$趨向無限，分割出的每一個區間長度必定要是一樣的，然後就可以應用梯形公式：

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right].$

亦可以寫成：

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2N}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_{N})\right)$

當中

$x_{k}=a+k{\frac {b-a}{N}},{\text{ for }}k=0,1,\dots ,N$

其餘項為

$R_{n}(f)=-{\frac {b-a}{12}}h^{2}f''(\eta ),\eta \in (a,b)$

當區間的長度並不相同時，這一條公式便不能使用。

每一區間並不相同

梯形公式的示意圖（長度不相同的區間）

給予$x_{1},\ldots ,x_{N}$以及$y_{1},\ldots ,y_{N}$，定積分就可以估算成

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{2}}\sum _{i=2}^{N}(x_{i}-x_{i-1})(y_{i}+y_{i-1})$,

當中

$y_{i}=f(x_{i})$.

誤差分析

應用梯形公式的誤差值是真值數字與運用梯形公式結果的差異：

${\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]$

如果 $(a,b)$中存在一個實數$\xi$，那麼

${\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )$

對於中矩形公式，其誤差類似的有：

${\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\xi )$

如果被積函數是一個凸函數（亦即有一個正值二階導數），那麼誤差會是一個負數，也代表梯形公式的估算值高估了真實數字。這可以利用一個幾何圖形代去表達：梯形不但覆蓋曲線下的面積更超越其範圍。同樣地，如果被積函數是一個凹函數，梯形公式就會低估其真實數字因為曲線下部份面積沒有被計算在內。如果被積函數中有拐點。它的錯誤是比較難去估計。

一般而言有數種方法可以去分析誤差，例如是：傅利葉級數。

在$N\rightarrow \infty$的情況下，趨向性的估計誤差是：

${\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).$

參考文獻

• 《數值分析》，清華大學出版社，李慶揚等編，書號ISBN 978-7-302-18565-9