滥用符号

数学中,滥用符号(英语:Abusing notation[注 1])虽然不严格,并非按数学符号的字面定义来运用,但有时能使数学论证更清晰,或引导读者明白其直观意义英语Mathematical intuition,同时减少犯错和增进理解。不过,符号是否严格使用,或句法英语syntax (logic)上是否正确,很视乎时代和学科背景。某些用法,在某些场合算为滥用,在另一种背景下却是严格正确。某理论在严格化前,若已引入新的符号,则该些符号是否属滥用,就可能取决于时代,因为有时该理论发展后,逻辑根基得到巩固,统一符号用法,而使符号变成严格正确。滥用符号不等于误用符号,因为前者是表意与严格性两方面的取舍,而后者则仅是错误,应当避免。误用积分常数为后者一例[1]

相似的概念是滥用语文(英语:abusing language)或滥用术语(英语:abusing terminology),此时滥用的是词语,而非符号。例如,“表示”的正式含义,是由某个 到某向量空间 上的一般线性群 群同态,但经常会将 称为 的表示。另一个常见滥用,是称两个典范同构英语Canonical isomorphism但不相等的物件为等同。[2]类似还有:视常数函数与其值等同、视(一个基集与其上二元运算组成的二元组)与其基集等同、视集合笛卡儿积与三维欧氏空间(配备几何结构)等同。[3]

集合与映射例子

函数写法

许多教科书中,会写“设函数   为⋯⋯(填入关于   的式子)”。此为滥用符号,因为函数的名称应为  ,而   应表示函数   在其定义域中某处   的取值。严格的写法为:“设   为函数,在   处取值为⋯⋯”或“设   为函数  ”此种滥用非常广泛,[4]因为可简化写法,而严格的写法可能显得过于执着细节。

类似的滥用尚有“考虑函数  ⋯⋯”,因为   并非函数,真正的函数是将   对应到   的运算,用匿名函数的写法可将该函数写成  。同样,此种滥用亦广泛出现,因为避免拘泥小节,同时一般不会造成混淆。

数学结构

许多数学物件是由一个集合(通常称为基集,英语:underlying set)及其上的额外结构组成。此种结构可以是数学运算关系拓扑结构。经常滥用同一个符号,同时表示基集及整个数学结构(此现象称为“压参数”,英语:suppression of parameters[3])。举例,  表示整数集,但同时可以表示整数集与加法组成的,还可以是整数集连同加法乘法组成的。一般而言,此类用法中,若所指的物件为所熟知,则不会引起读者混淆;若刻意避免滥用,反而可能略嫌冗余,使数学论述更难理解。实在混淆时,可以写出整个结构以作区分,即以   表示整数的加法群,  表示整数环。

同理,拓扑空间由基集   与拓扑结构   两部分构成,后者是   若干子集构成的族,该些子集称为开集。通常,只考虑   上某一个拓扑,于是一经指定,就无需再次提及,可用同一个符号   同时表示基集及   与拓扑结构   组成的二元组,而不引起混淆,即使严格而言,两者为不同的数学物件。不过,有时要同时考虑同一个基集上的两个拓扑(如拓扑向量空间上的强拓扑英语strong topology弱拓扑英语weak topology,或实数线上的欧氏拓扑下限拓扑),此时则须当心使用结构的全写,如   ,以作区分。

等价类

等价关系中,元素   所在等价类严格地可记为  ,但有时亦滥用符号记为  。此处等价类的意思是,若集合   分划成等价关系   的等价类,则对每个  ,等价类   记为  。但实用上,若取商集后,余下讨论仅关心等价类,而非原集合的元素,则常会弃用方括号。

例如,模算术中,有等价关系  ,其定义中,  当且仅当  。将整数集按   划分,可以得到等价类  ,关于加法组成一个   循环群,但实用上,该群的元素常简记为  

另一个例子是,某测度空间上,可测函数(类)组成的向量空间,或勒贝格可积函数(类)组成的向量空间。此处等价关系为“几乎处处相等”。

相等抑或同构

许多数学构造是以某性质来刻划其定义(经常是泛性质),如直积张量积自由积。选定所需性质后,可能有多种方法构造出具该性质的结构,各结构严格而言,固然是不同的物件,但因为性质完全一样(“同构”),不能藉其性质区分各同构物件,即使实际不等亦常迳称“相等”。[2]

笛卡儿积为例,常以为可结合

 

实则不然,因为若  ,则有序对之间的等式   会推出   ,而   甚至不合式,是句法错误。不过,在范畴论中,得以自然变换的概念,将上述“结合律”修正。

类似滥用亦常见于谈论结构“个数”的句子。举例“恰有两个8阶非交换群”严格而言可写作“8阶非交换群的同构类英语Isomorphism class恰有两个”或“不别同构之异,恰有两种8阶非交换群”。

微积分例子

导数

数学分析中,导函数莱布尼兹记法 ,算是滥用了分数符号。此种写法的好处是,形式上得以沿用分数的运算法则,方便计算,例如复合函数求导的连锁律,按莱布尼兹记法为:

 

状似分数乘法。

类似滥用出现于解微分方程分离变数法,常将方程   左边的导数,如分数般“移项”写成  ,然后两边积分。还有积分记号中,将    看成因子,与   的分子相乘,写成

 

但在微分形式理论中,有    的严格定义,此时,上述写法不再是滥用。

向量叉积

设实向量   ,则两者的叉积可用形式行列式定义为:

 

其中顶行的三项是三个方向的单位向量,沿该行用余子式展开可得结果。此种滥用有助记忆,实际计算亦有用。[5]其所以为滥用,是因为一般仅定义上某矩阵的行列式,但向量   与标量   等不在同一环内(除非考虑几何代数英语Geometric algebra)。

倒三角算子

倒三角算子   是将偏微分算子组装成类似向量的形式:

 

以便用向量运算表示梯度  散度  旋度  。但是,倒三角算子并未齐备向量的全部性质,例如与其他向量的内积可换。此观点下,是滥用向量符号。

大O记号

使用大O符号时,常以   表示“当   充分大英语sufficiently large时,  至多为   的常数倍”。这可以看成滥用了等号,因为如德布鲁因英语Nicolaas Govert de Bruijn所言,  [6]

主观性

一种用法是否属滥用符号,视乎学科背景和上下文。大部分数学科目中,以   表示偏函数英语partial function,皆算为滥用,但范畴论中则不一定,因为   在集合和偏函数构成的范畴中,确实是态射

评价

尼古拉·布尔巴基在《数学原本》起首的“本书用法”中,称任何数学书若不滥用语文或符号,则易拘于小节(pédantesque)甚至不堪卒读(illisible)。[7]陶哲轩认为,论文的严格论证中,所用符号应当明确而不含糊,但即使如此,仍允许一定程度的滥用符号。[8]

参见

  1. ^ 英文常用搭配为"by abuse of notation",意即“藉滥用符号”。

参考资料

  1. ^ Common Errors in College Math [大学数学常犯错误]. math.vanderbilt.edu. [2019-11-03]. (原始内容存档于2021-10-04) (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 Glossary — Abuse of notation. www.abstractmath.org. [2019-11-03]. (原始内容存档于2021-12-22). 
  3. ^ 3.0 3.1 More about the languages of math — Suppression of parameters. www.abstractmath.org. [2019-11-03]. (原始内容存档于2021-05-06). 
  4. ^ Abuse of Math Notation. xahlee.info. [2019-11-03]. (原始内容存档于2021-11-20). 
  5. ^ Stewart, James. Multivariable Calculus 6th. Brooks/Cole. 2007: 822–823. ISBN 0-495-01163-0 (英语). 
  6. ^ N. G. de Bruijn. Asymptotic Methods in Analysis. Amsterdam: North-Holland. 1958: 5–7 [2021-11-06]. ISBN 978-0-486-64221-5. (原始内容存档于2021-11-06) (英语). 
  7. ^ Bourbaki, Nicolas. Théorie des ensembles. Éléments de mathématique. : Mode d'emploi de ce traité. doi:10.1007/978-3-540-34035-5 (法语). …, les abus de langage ou de notation, sans lesquels tout texte mathématique risque de devenir pédantesque et même illisible, … 有英译本
    Bourbaki, Nicolas. Theory of Sets. Elements of Mathematics. 1968. doi:10.1007/978-3-642-59309-3 (英语). 
  8. ^ Tao, Terence. Use good notation (网志). [2021-11-05]. (原始内容存档于2021-11-07) (英语). A certain amount of abuse of notation is permitted, though, as long as this is properly pointed out.