范数(英语:Norm),是具有“长度”概念的函数。在线性代数泛函分析及相关的数学领域,是一个函数,其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度大小。另一方面,半范数(英语:seminorm)可以为非零的向量赋予零长度。

拥有不同范数的单位圆

举一个简单的例子,一个二维度的欧几里得空间就有欧氏范数。在这个向量空间的元素(譬如:(3,7))常常在笛卡尔座标系统被画成一个从原点出发的箭号。每一个向量的欧氏范数就是箭号的长度。

拥有范数的向量空间就是赋范向量空间。同样,拥有半范数的向量空间就是赋半范向量空间。

定义

假设V是域F上的向量空间V半范数是一个函数 ,满足:

 ,

  1.  (具有半正定性)
  2.  (具有绝对一次齐次性)
  3.   (满足三角不等式,或称次可加性

范数是一个半范数加上额外性质:

4.  ,当且仅当 零向量正定性

如果拓扑向量空间的拓扑可以被范数导出,这个拓扑向量空间被称为赋范向量空间

例子

  • 所有范数都是半范数。
  • 平凡半范数,即 
  • 绝对值实数集上的一个范数。
  • 对向量空间上的次线性型f可定义一个半范数: 

绝对值范数

绝对值范数为

 

是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。

绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。

欧几里德范数

n欧几里德空间 上,向量 的最符合直觉的长度由以下公式给出

 

根据勾股定理,它给出了从原点到点 之间的(通常意义下的)距离。欧几里德范数是 上最常用的范数,但正如下面举出的, 上也可以定义其他的范数。然而,以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构,因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个n维复数空间 中,最常见的范数是:

 

以上两者又可以以向量与其自身的内积平方根表示:

 

其中x是一个列向量( ),而 表示其共轭转置

以上公式适用于任何内积空间,包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里,内积等价于点积,因此公式可以写成以下形式:

 

特别地, 中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个n维球面

复数的欧几里得范数

如果将复平面看作欧几里得平面 ,那么复数的欧几里得范数是其绝对值(又称为)。这样,我们可把 视为欧几里得平面上的一个向量,由此,这个向量的欧几里得范数即为 (最初由欧拉提出)。

参见

参考文献