範數(英語:Norm),是具有「長度」概念的函數。在線性代數泛函分析及相關的數學領域,是一個函數,其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度大小。另一方面,半範數(英語:seminorm)可以為非零的向量賦予零長度。

擁有不同範數的單位圓

舉一個簡單的例子,一個二維度的歐幾里得空間就有歐氏範數。在這個向量空間的元素(譬如:(3,7))常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。

擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣,擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。

定義

假設V是域F上的向量空間V半範數是一個函數 ,滿足:

 ,

  1.  (具有半正定性)
  2.  (具有絕對一次齊次性)
  3.   (滿足三角不等式,或稱次可加性

範數是一個半範數加上額外性質:

4.  ,若且唯若 零向量正定性

如果拓撲向量空間的拓撲可以被範數導出,這個拓撲向量空間被稱為賦範向量空間

例子

  • 所有範數都是半範數。
  • 平凡半範數,即 
  • 絕對值實數集上的一個範數。
  • 對向量空間上的次線性型f可定義一個半範數: 

絕對值範數

絕對值範數為

 

是在由實數或虛數構成的一維向量空間中的範數。

絕對值範數是曼哈頓範數的特殊形式。

歐幾里德範數

n歐幾里德空間 上,向量 的最符合直覺的長度由以下公式給出

 

根據畢氏定理,它給出了從原點到點 之間的(通常意義下的)距離。歐幾里德範數是 上最常用的範數,但正如下面舉出的, 上也可以定義其他的範數。然而,以下定義的範數都定義了同一個拓撲結構,因此它們在某種意義上都是等價的。

在一個n維複數空間 中,最常見的範數是:

 

以上兩者又可以以向量與其自身的內積平方根表示:

 

其中x是一個列向量( ),而 表示其共軛轉置

以上公式適用於任何內積空間,包括歐式空間和複空間。在歐幾里得空間裡,內積等價於點積,因此公式可以寫成以下形式:

 

特別地, 中所有的歐幾里得範數為同一個給定正實數的向量的集合是一個n維球面

複數的歐幾里得範數

如果將複數平面看作歐幾里得平面 ,那麼複數的歐幾里得範數是其絕對值(又稱為)。這樣,我們可把 視為歐幾里得平面上的一個向量,由此,這個向量的歐幾里得範數即為 (最初由歐拉提出)。

參見

參考文獻