内射维度、投射维度与同调维度

投射维度内射维度同调维度(又称整体维度)是交换代数中考虑的重要不变量

定义

以下设  交换环,而   -

 内射维度   定义为其内射分解的最短长度(当   时置  )。投射维度   则定义为其投射分解的最短长度。

利用同调代数的工具,可以进一步得到下述刻划:

命题一. 设   为整数,下述条件等价:

  •  
  • 对所有  -模  ,有  
  • 对所有理想  ,有  
  • 对所有正合序列  ,若每个   都是内射模,则   也是内射模。

命题二. 设   为整数,下述条件等价:

  •  
  • 对所有  -模  ,有  
  • 对所有正合序列  ,若每个   都是投射模,则   也是投射模。

 诺特环  为有限生成  -模时,上述条件更等价于

  • 对所有极大理想  ,有  
  • 对所有极大理想  ,有  

由此可定义环  同调维度  为:

  •  
  •  
  • 存在  -模   使得   的最大整数  (可能是无穷大)。

性质

内射维度、投射维度与同调维度对局部化有下述关系:

 
 

其中的   取遍   的所有素理想(或极大理想),而投射维度给出  上半连续函数。事实上,仅须考虑   的支撑集中的素理想。

由此立刻得到  

此外,它们与模的深度也有密切的关系,例如:

定理 (Auslander-Buchsbaum):设   为局部诺特环  为有限生成  -模,而且其投射维度有限,则

 

定理:设   为局部诺特环  为有限生成  -模,而且其内射维度有限,则

 

最后,同调维度为正则局部环给出了一个完全内在的刻划:

定理(Serre):一个局部诺特环   是正则局部环的充要条件是  ,此时  

文献