皮卡德群

数学中,环空间X的皮卡德,是在X可逆层(或线丛)的同构类组成群,记作。此群的群运算张量积。这个群的构造理念是构造因数(除子)类群或理想类群的广域(global)版本, 这种构造在代数几何复流形理论中广泛使用。

此外,皮卡德群也可以定义为层上同调群

对于积分概形, 皮卡德群同构于Cartier 因数的类群。对于复流形,指数层级数能给出对应的皮卡德群的基本信息。

因为皮卡德在代数曲面上的因数的相关研究, 这个群以他命名。

例子

  • 一个戴德金整环的皮卡德群是这个戴尔金整环的理想类群
  • 如果  是一个,那么其射影空间  上的可逆层是扭转 所以 的皮卡德群同构于 
  •  上有两个原点的仿射线的皮卡德群同构于 
  •  维复仿射空间的皮卡德群:  。因为指数序列正好生成了以下上同调的长序列
     
并且因为  [1]
因为 是可收缩的 所以我们可以得出  ,那么 
由Dolbeault-Grothendieck 引理得出以下结论, 可以应用Dolbeault 同构来计算: 

皮卡德概形

我们可以在在皮卡德群(的可表示函子版本)上构造概形结构,即皮卡德概形,是代数几何中的重要工具,特别是在阿贝尔簇的对偶理论中。这种方法由Grothendieck (1962)构建,并由Mumford (1966)Kleiman (2005)描述。

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参考资料

  1. ^ Sheaf cohomology#Sheaf cohomology with constant coefficients