皮卡德群

數學中,環空間X的皮卡德,是在X可逆層(或線叢)的同構類組成群,記作。此群的群運算張量積。這個群的構造理念是構造因數(除子)類群或理想類群的廣域(global)版本, 這種構造在代數幾何複流形理論中廣泛使用。

此外,皮卡德群也可以定義為層上同調群

對於積分概形, 皮卡德群同構於Cartier 因數的類群。對於複流形,指數層級數能給出對應的皮卡德群的基本信息。

因為皮卡德在代數曲面上的因數的相關研究, 這個群以他命名。

例子

  • 一個戴德金整環的皮卡德群是這個戴爾金整環的理想類群
  • 如果  是一個,那麼其射影空間  上的可逆層是扭轉 所以 的皮卡德群同構於 
  •  上有兩個原點的仿射線的皮卡德群同構於 
  •  維復仿射空間的皮卡德群:  。因為指數序列正好生成了以下上同調的長序列
     
並且因為  [1]
因為 是可收縮的 所以我們可以得出  ,那麼 
由Dolbeault-Grothendieck 引理得出以下結論, 可以應用Dolbeault 同構來計算: 

皮卡德概形

我們可以在在皮卡德群(的可表示函子版本)上構造概形結構,即皮卡德概形,是代數幾何中的重要工具,特別是在阿貝爾簇的對偶理論中。這種方法由Grothendieck (1962)構建,並由Mumford (1966)Kleiman (2005)描述。

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參考資料

  1. ^ Sheaf cohomology#Sheaf cohomology with constant coefficients