网球拍定理

网球拍定理或者中间轴定理,又称贾尼别科夫效应扎尼别科夫效应(Dzhanibekov Effect)是经典力学中描述自由刚体运动时欧拉方程的解,该刚体可以绕三个不同的主轴旋转,并且三个转动惯量互不相等。因为该现象由俄罗斯宇航员弗拉基米尔·扎尼别科夫于1985年在太空中发现,因以为名[1]。1991年的一篇论文解释了该效应[2],不过此现象在至少150年前就已被发现[3]

网球拍的三个主轴

该定理所描述的现象为:刚体绕著第一个和第三个主轴转动时很稳定,但绕居中的主轴转动时则不稳定。我们可以用下面的实验来解释:握住拍柄使得拍面呈水平,然后将球拍抛至空中,绕著垂直握把的水平轴(图中 ê2)旋转,再试著接住球拍。旋转过程中,拍面自身很可能也会转了半圈,以致不容易接住。相对而言,如果是绕著握把轴(图中 ê1)或是与拍面垂直的轴(ê3)旋转,则可以不造成其他轴旋转半圈。

事实上,该实验可以用任意有三个不同转动惯量的物体来实现,例如书本或者电视遥控器。只要旋转轴稍微与第二主轴不同,该现象就会发生,不依赖于空气阻力或者重力。

网球拍绕三个轴旋转的影片。中间那格从亮边翻转到了暗边。

数学描述

自由转动时,欧拉方程的形式为

 

这里, 为三个转动惯量,并假设  为三个相应的角速度, 为其时间导数。

现在研究绕主轴1旋转的情况,要确定平衡状态的性质,可以假设另外两个初始角速度都非常小,从而 也非常小,所以 与时间的关系可以忽略掉。

然后对方程(2)求导,并把 到代入其中,从而有

 
微重力下的网球拍原理,来自 NASA

值得一提的是,注意,现在 的符号发生了变化,所以绕着这根轴旋转是稳定的。

对于 也是类似的原因,也是稳定的。

现在将一样的分析应用到 上,这一次是 非常小, 与时间的关系可以忽略。

对方程(1)求导,并把 到代入其中,从而有

 

注意, 的符号保持不变(角速度会增长),所以绕主轴2旋转不稳定。因此,一个很小的扰动就会使物体发生"翻转"。

参考文献

  1. ^ Эффект Джанибекова - Форумы CNews. live.cnews.ru. [2016-03-26]. (原始内容存档于2016-08-16) (俄语). 
  2. ^ Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone and Richard H. Cushman (1991).
  3. ^ Derek Muller. The Bizarre Behavior of Rotating Bodies, Explained. Veritasium. September 19, 2019 [February 16, 2020]. (原始内容存档于2021-10-12).