網球拍定理

網球拍定理或者中間軸定理,又稱賈尼別科夫效應扎尼別科夫效應(Dzhanibekov Effect)是經典力學中描述自由剛體運動時歐拉方程的解,該剛體可以繞三個不同的主軸旋轉,並且三個轉動慣量互不相等。因為該現象由俄羅斯太空人弗拉基米爾·扎尼別科夫於1985年在太空中發現,因以為名[1]。1991年的一篇論文解釋了該效應[2],不過此現象在至少150年前就已被發現[3]

網球拍的三個主軸

該定理所描述的現象為:剛體繞著第一個和第三個主軸轉動時很穩定,但繞居中的主軸轉動時則不穩定。我們可以用下面的實驗來解釋:握住拍柄使得拍面呈水平,然後將球拍拋至空中,繞著垂直握把的水平軸(圖中 ê2)旋轉,再試著接住球拍。旋轉過程中,拍面自身很可能也會轉了半圈,以致不容易接住。相對而言,如果是繞著握把軸(圖中 ê1)或是與拍面垂直的軸(ê3)旋轉,則可以不造成其他軸旋轉半圈。

事實上,該實驗可以用任意有三個不同轉動慣量的物體來實現,例如書本或者電視遙控器。只要旋轉軸稍微與第二主軸不同,該現象就會發生,不依賴於空氣阻力或者重力。

網球拍繞三個軸旋轉的影片。中間那格從亮邊翻轉到了暗邊。

數學描述

自由轉動時,歐拉方程的形式為

 

這裡, 為三個轉動慣量,並假設  為三個相應的角速度, 為其時間導數。

現在研究繞主軸1旋轉的情況,要確定平衡狀態的性質,可以假設另外兩個初始角速度都非常小,從而 也非常小,所以 與時間的關係可以忽略掉。

然後對方程(2)求導,並把 到代入其中,從而有

 
微重力下的網球拍原理,來自 NASA

值得一提的是,注意,現在 的符號發生了變化,所以繞著這根軸旋轉是穩定的。

對於 也是類似的原因,也是穩定的。

現在將一樣的分析應用到 上,這一次是 非常小, 與時間的關係可以忽略。

對方程(1)求導,並把 到代入其中,從而有

 

注意, 的符號保持不變(角速度會增長),所以繞主軸2旋轉不穩定。因此,一個很小的擾動就會使物體發生"翻轉"。

參考文獻

  1. ^ Эффект Джанибекова - Форумы CNews. live.cnews.ru. [2016-03-26]. (原始內容存檔於2016-08-16) (俄語). 
  2. ^ Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone and Richard H. Cushman (1991).
  3. ^ Derek Muller. The Bizarre Behavior of Rotating Bodies, Explained. Veritasium. September 19, 2019 [February 16, 2020]. (原始內容存檔於2021-10-12).